Fourier Analysis and Transform Theory
学年
学部2年生（理系）
授業の概要
本講義では、フーリエ級数展開、フーリエ変換、ラプラス変換といった関数解析の基本的な道具について学びます。これらは信号処理、偏微分方程式の解法、量子力学など、様々な自然科学・工学分野で重要な役割を果たします。
講義では基礎理論の構築から始め、具体的な計算方法、応用例まで幅広く扱います。特に周期関数の表現といった具体例を通して、抽象的な概念の直感的理解を促します。また、高速フーリエ変換（FFT）についても簡単に触れ、デジタル信号処理の基礎を紹介します。
到達目標
- ベクトル空間・内積空間の基本概念を理解し、関数空間における直交性の概念を説明できる
- 具体的な関数のフーリエ級数展開を計算でき、その収束性について議論できる
- フーリエ変換・ラプラス変換の基本的な性質を理解し、簡単な関数の変換と逆変換を計算できる
- 微分方程式の解法にラプラス変換を応用できる
- フーリエ解析の物理現象への応用について説明できる
授業計画
第1部：基本概念とフーリエ級数の導入
- [x] 第1回：三角関数の基本性質と直交性（基本的な波形と周期、直交関係の計算演習）
- [x] 第2回：フーリエ級数の基礎（周期関数の表現方法、係数の求め方と具体例）
- [x] 第3回：フーリエ係数の計算演習（代表的な関数のフーリエ級数展開、グラフによる理解）
第2部：フーリエ級数の性質と数学的応用
- [x] 第4回：フーリエ級数の収束性（ギブス現象の観察と理解、偶関数・奇関数と展開の関係）
- [x] 第5回：フーリエ級数と無限級数（x²のフーリエ展開とバーゼル問題、ワイヤストラスの定理）
- [x] 第6回：拡張フーリエ級数（異なる区間での展開、複素フーリエ級数への導入、周期の変更）
- [ ] 第7回：前半の復習と演習（計算問題を中心とした総合演習）-> 補講日へ
第3部：フーリエ変換と応用
- [ ] 第8回：フーリエ変換の導入（周期→非周期への拡張、基本変換公式と性質）
- [ ] 第9回：フーリエ変換の性質（畳み込み定理、パーセバルの定理、フーリエ変換の応用例）
- [ ] 第10回：熱伝導方程式と変数分離法（フーリエ級数・変換を用いた偏微分方程式の解法）
第4部：ラプラス変換と微分方程式
- [ ] 第11回：ラプラス変換の基礎（定義と基本性質、代表的な関数の変換表）
- [ ] 第12回：ラプラス変換の計算演習（部分分数分解、逆変換の方法）
- [ ] 第13回：常微分方程式の解法（初期値問題、基本的な例題）
- [ ] 第14回：離散フーリエ変換と高速フーリエ変換（FFT）の基礎（サンプリングと離散化、アルゴリズムの概念）
第5部：総合演習と発展
- [ ] 第15回：試験前総合演習（各種変換の使い分け、応用問題、発展的内容の紹介）