第10回 熱伝導方程式と変数分離法 解答例
基本問題
問題1の解答
変数分離法を用いて解く。与えられた方程式を変形すると、 $$ \frac{dy}{y} = -k dx $$ 両辺を積分すると、 $$ \ln|y| = -kx + C \quad (Cは積分定数) $$ したがって、 $$ y = Ce^{-kx} $$
問題2の解答
特性方程式を考えると、 $$ r^2 + \lambda = 0 $$ よって、\(r = \pm \sqrt{-\lambda}\)となる。
\(\lambda > 0\)のとき、 $$ y = C_1 \cos(\sqrt{\lambda}x) + C_2 \sin(\sqrt{\lambda}x) $$
\(\lambda = 0\)のとき、 $$ y = C_1 + C_2 x $$
\(\lambda < 0\)のとき、 $$ y = C_1 e^{\sqrt{-\lambda}x} + C_2 e^{-\sqrt{-\lambda}x} $$
問題3の解答
解を\(u(x,t) = X(x)T(t)\)の形で仮定する。これを熱伝導方程式に代入すると、 $$ X(x)T'(t) = \alpha X''(x)T(t) $$ 両辺を\(\alpha X(x)T(t)\)で割ると、 $$ \frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda $$
空間に関する方程式は、 $$ X''(x) + \lambda X(x) = 0 $$ 境界条件\(X(0) = X(L) = 0\)から、\(\lambda = \left(\frac{\pi}{L}\right)^2\)となり、 $$ X(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) $$
時間に関する方程式は、 $$ T'(t) + \alpha\lambda T(t) = 0 $$ これを解くと、 $$ T(t) = Ce^{-\alpha\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 t} $$
初期条件\(u(x,0) = \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\)から、\(C = 1\)となる。したがって、 $$ u(x,t) = \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) e^{-\alpha\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 t} $$
標準問題
問題4の解答
問題3と同様に解を求めると、 $$ u(x,t) = 2\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) e^{-\alpha\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 t} + 3\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right) e^{-\alpha\left(\frac{2\pi}{L}\right)^2 t} $$
問題5の解答
初期条件をフーリエ正弦級数展開すると、 $$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) $$ ここで、 $$ C_n = \frac{2}{L} \int_0^{L/2} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = \frac{2}{n\pi} \left(1 - \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right) $$
したがって、解は $$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi} \left(1 - \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\alpha\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t} $$
発展問題
問題6の解答
問題3と同様に変数分離法を用いる。境界条件が\(\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = 0\)であるから、 $$ X'(0) = X'(L) = 0 $$
固有値は\(\lambda = \left(\frac{\pi}{L}\right)^2\)となり、 $$ X(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right) $$
時間に関する解は問題3と同様で、 $$ T(t) = Ce^{-\alpha\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 t} $$
初期条件\(u(x,0) = \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\)から、\(C = 1\)となる。したがって、 $$ u(x,t) = \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right) e^{-\alpha\left(\frac{\pi}{L}\right)^2 t} $$