第2回問題
第2回 フーリエ級数展開 問題集
基本問題
問題1
次の関数について、周期関数であることを示し、その最小周期を求めよ：
(1) \(f(x) = \sin 2x\) （\(x \in \mathbb{R}\)）
(2) \(f(x) = \cos 3x\) （\(x \in \mathbb{R}\)）
(3) \(f(x) = \sin^2 x\) （\(x \in \mathbb{R}\)）
(4) \(f(x) = \sin 2x + \cos 3x\) （\(x \in \mathbb{R}\)）
問題2
関数 \(f(x)\) を以下のように定義する：
これを周期 \(2\pi\) の周期関数として延長する。ただし、\(f\) は区分的に連続であるとする。
(1) この周期関数が不連続となる点をすべて求めよ。
(2) 各不連続点 \(x\) におけるフーリエ級数の収束値
$$
\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2}
$$
を求めよ。
(3) 特に \(x = \pi\) におけるフーリエ級数の収束値を具体的に計算せよ。
問題3
関数 \(f(x) = x^2 \ (-\pi \leq x < \pi)\) を周期 \(2\pi\) の周期関数として延長することを考える。
(1) \(f(4\pi)\) の値を求めよ。
(2) \(g(x) = x \ (-\pi \leq x < \pi)\) を周期 \(2\pi\) の周期関数として延長し、\(h(x) = f(x) + g(x)\) とするとき、\(h(4\pi)\) を求めよ。
問題4
関数 $$ f(x) = x \quad (-\pi < x \leq \pi) $$ を周期 \(2\pi\) の周期関数として延長したときのフーリエ級数 $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) $$ に関して、次の問いに答えよ。
(1) フーリエ係数 \(a_0\), \(a_n\), \(b_n\) を具体的に計算し求めよ。
(2) このフーリエ級数は点 \(x = \pi/2\) と \(x = \pi\) でそれぞれいくらに収束するか、その具体的な数値を求めよ。 また、\(x = \pi/2\) での収束値が元の関数値と一致するのに対し、\(x = \pi\) では一致しない理由を説明せよ。