フーリエ級数の収束条件とギブス現象の可視化

フーリエ級数とギブス現象の概要

このページでは、周期関数を三角関数の重ね合わせで表現するフーリエ級数について学びます。特に、元の関数が持つ不連続性がフーリエ級数の収束にどのように影響するか、そして不連続点付近で観察されるギブス現象を視覚的に探求します。

学習目標

フーリエ級数の基本的な考え方を理解する。
関数の拡張方法（奇関数・偶関数）がフーリエ級数に与える影響を知る。
関数の連続性がフーリエ級数の収束速度に関係することを視覚的に確認する。
ギブス現象がどのような現象か、なぜ発生するのかを理解する。
フーリエ級数の項数 \(N\) を変化させたときの近似の様子を観察する。

対象となる関数

区間 \([0, \pi)\) で定義された関数 \(f(x) = x\) を考え、これを周期 \(2\pi\) の関数として以下の2つの方法で拡張します。

1. 不連続拡張（奇関数拡張） 元の関数を原点対称（奇関数）になるように \((-\pi, \pi)\) に拡張し、それを周期 \(2\pi\) で繰り返します。区間 \([0, 2\pi)\) では以下のようになります。 \[ f_1(x) = \begin{cases} x & (0 \leq x < \pi) \\ x - 2\pi & (\pi \leq x < 2\pi) \end{cases} \] \(x=\pi\) では不連続になります（フーリエ級数の収束値は左右極限の平均値 0 です）。 この関数のフーリエ級数（部分和）は以下のサイン級数となります。 \[ S_{N}^{(1)}(x) = 2 \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx \]

2. 連続拡張（偶関数拡張） 元の関数を \(y\) 軸対称（偶関数）になるように \([-\pi, \pi]\) に拡張し、それを周期 \(2\pi\) で繰り返します。区間 \([0, 2\pi)\) では以下のようになります。 \[ f_2(x) = \begin{cases} x & (0 \leq x \leq \pi) \\ 2\pi - x & (\pi < x < 2\pi) \end{cases} \] この関数は区間全体で連続になります。 この関数のフーリエ級数（部分和）は以下のコサイン級数となります。 \[ S_{N}^{(2)}(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=1}^{\lceil N/2 \rceil} \frac{4}{\pi (2k-1)^2} \cos((2k-1)x) \] （ここで \(\lceil N/2 \rceil\) は \(N/2\) 以上の最小の整数を表し、級数には奇数番目のコサイン項のみが現れます。）

「可視化」タブで、これらの関数とそのフーリエ級数 \(S_N(x)\) がどのように関数を近似していくかを見てみましょう。また、「ギブス現象」タブでは、不連続拡張 \(f_1(x)\) の不連続点 \(x=\pi\) 付近での特有の振る舞いを詳しく観察します。

フーリエ級数の可視化

スライダーを動かして、フーリエ級数の項数 \(N\) を変化させ、元の関数への収束の様子を比較してください。特に、収束の速さの違いに注目しましょう。

フーリエ項数 (N): 5

不連続拡張 \(f_1(x)\) の近似

連続拡張 \(f_2(x)\) の近似

誤差比較

関数が連続な点 \(x = \pi/2\) での、原関数とフーリエ級数部分和 \(S_N(x)\) との絶対誤差 \(|f(\pi/2) - S_N(\pi/2)|\) を比較します。

項数 (N)	不連続拡張 \(f_1\) の誤差	連続拡張 \(f_2\) の誤差

連続拡張の方が誤差の減少が速い（収束が速い）ことがわかります。

ギブス現象の観察

不連続な関数 \(f_1(x)\) をフーリエ級数で近似すると、不連続点 \(x=\pi\) の近くで部分和 \(S_N^{(1)}(x)\) がオーバーシュート（行き過ぎ）する現象が見られます。これをギブス現象と呼びます。

スライダーで項数 \(N\) を増やしても、オーバーシュートの「高さ」はほとんど変わらないことを確認してください。

フーリエ項数 (N): 20

不連続点 (x = π) 近傍でのギブス現象

ギブス現象の特徴:

不連続点 \(x=\pi\) の左右で、部分和 \(S_N(x)\) は元の関数の値（左側では \(\pi\)、右側では \(-\pi\)）を大きく超えて振動します。
このオーバーシュートの最大値（およびアンダーシュートの最小値）は、\(N\) を大きくしても特定の極限値に近づきます。これは、不連続点での関数の「跳び」の大きさ（この場合は \(|\pi - (-\pi)| = 2\pi\)）の約 9% に相当する量だけ、収束値 (0) からずれた値です。
項数 \(N\) を増やすと、振動の幅は狭くなり、不連続点 \(x=\pi\) に局所化していきます。

理論的背景

フーリエ級数

周期 \(2L\) を持つ「良い性質の」関数 \(f(x)\) は、三角関数の無限級数で表すことができます。

f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right) \] ここで、フーリエ係数 \(a_n, b_n\) は以下で計算されます。 \[ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx \quad (n=0, 1, 2, \dots) \] \[ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx \quad (n=1, 2, 3, \dots)

このページでは周期 \(2\pi\) (\(L=\pi\)) の場合を扱っています。関数が奇関数 (\(f(-x)=-f(x)\)) ならば \(a_n=0\) となりサイン級数に、偶関数 (\(f(-x)=f(x)\)) ならば \(b_n=0\) となりコサイン級数になります。

収束定理（ディリクレ条件）

関数 \(f(x)\) が周期 \(2L\) を持ち、以下のディリクレ条件を満たす場合、そのフーリエ級数は収束します。

1周期内で、\(f(x)\) は絶対可積分である (\(\int_{-L}^{L} |f(x)| dx < \infty\))。
1周期内で、\(f(x)\) は有限個の極値しか持たない。
1周期内で、\(f(x)\) は有限個の不連続点しか持たず、各不連続点は有限な跳びを持つ（第一種不連続点）。

これらの条件を満たすとき、フーリエ級数の収束値は以下となります。

\(f(x)\) が連続な点 \(x\) では、級数は \(f(x)\) に収束する。
\(f(x)\) が不連続な点 \(x_0\) では、級数は左右からの極限の平均値 \(\frac{f(x_0+0) + f(x_0-0)}{2}\) に収束する。

収束の速さと関数の滑らかさ

フーリエ級数の収束の速さ（部分和 \(S_N(x)\) が \(f(x)\) にどれだけ早く近づくか）は、元の関数 \(f(x)\) の滑らかさに強く依存します。

不連続な関数 (例: \(f_1(x)\)): フーリエ係数は \(|a_n|, |b_n| \sim O(1/n)\) のオーダーで減衰します。収束は比較的遅いです。
連続だが微分不可能点を持つ関数 (例: \(f_2(x)\) は \(x=0, \pi, 2\pi, \dots\) で微分不可能): フーリエ係数は \(|a_n|, |b_n| \sim O(1/n^2)\) のオーダーで減衰します。収束は \(f_1(x)\) より速いです。
\(k-1\) 階まで連続微分可能で、\(k\) 階導関数が不連続な関数: フーリエ係数は \(|a_n|, |b_n| \sim O(1/n^{k+1})\) のオーダーで減衰します。関数が滑らかであるほど、係数は速くゼロに近づき、フーリエ級数の収束も速くなります。

この性質は、「可視化」タブの誤差比較表で確認できます。

ギブス現象 (Gibbs Phenomenon)

関数 \(f(x)\) が第一種不連続点 \(x_0\) を持つとき、その点におけるフーリエ級数の部分和 \(S_N(x)\) は、\(N \to \infty\) の極限でも、不連続点の近傍で \(f(x_0+0)\) と \(f(x_0-0)\) の間を振動するだけでなく、これらの値を一定量だけ「超えて」振動します。

具体的には、不連続点での跳びの高さを \(\Delta f = |f(x_0+0) - f(x_0-0)|\) とすると、\(N\) が大きいとき、部分和 \(S_N(x)\) の最大値（または最小値）は、収束値 \(\frac{f(x_0+0) + f(x_0-0)}{2}\) から約 \(0.08949 \times \Delta f\) だけ離れた値に近づきます。

\lim_{N\to\infty} \max_{x} S_N(x) \approx \frac{f(x_0+0) + f(x_0-0)}{2} + \left( \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin t}{t} dt - \frac{1}{2} \right) |f(x_0+0) - f(x_0-0)| \] \[ \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin t}{t} dt - \frac{1}{2} \approx \frac{1.8519}{\pi} - 0.5 \approx 0.5894 - 0.5 = 0.0894

この \(N\) を増やしても消えないオーバーシュートがギブス現象です。振動が現れる領域は \(N\) とともに不連続点に近づいていきます。

フーリエ級数の収束とギブス現象