第1回：ベクトル空間と基底（関数空間における直交系）講義ノート

学習目標

この授業では、以下の概念と技能を習得することを目指します： - ベクトル空間の定義を理解し、具体例を挙げられる - 関数空間における内積と直交性の概念を理解する - 三角関数系の直交性を確認できる

1. ベクトル空間の基本概念

1.1 ベクトル空間の定義

ベクトル空間 $V$ は、以下の8つの公理を満たす集合です：

加法の閉性: $\forall u, v \in V, u + v \in V$
加法の結合律: $\forall u, v, w \in V, (u + v) + w = u + (v + w)$
加法の交換律: $\forall u, v \in V, u + v = v + u$
零元の存在: $\exists 0 \in V, \forall v \in V, v + 0 = v$
逆元の存在: $\forall v \in V, \exists -v \in V, v + (-v) = 0$
スカラー倍の閉性: $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall v \in V, \alpha v \in V$
スカラー倍の分配律: $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \forall v \in V, (\alpha + \beta)v = \alpha v + \beta v$
スカラー倍の結合律: $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \forall v \in V, \alpha(\beta v) = (\alpha \beta)v$

1.2 具体例

実数全体 $\mathbb{R}$:
通常の加法と乗法でベクトル空間となる
零元は0、逆元は符号を反転させた数
連続関数空間 $C[0,1]$:
関数の加法: $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$
スカラー倍: $(\alpha f)(x) = \alpha f(x)$
零元: 恒等的に0の関数
逆元: 符号を反転させた関数

2. 関数空間における内積と直交性

2.1 内積の定義

区間 $[a,b]$ 上の関数空間における内積は以下のように定義されます： $$ \langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx $$

2.2 直交性

2つの関数 $f$ と $g$ が直交するとは： $$ \langle f, g \rangle = 0 $$ が成り立つことをいいます。

2.3 具体例：三角関数の直交性

区間 $[-\pi, \pi]$ 上で： 1. $\langle 1, \sin x \rangle = 0$ 2. $\langle 1, \cos x \rangle = 0$ 3. $\langle \sin x, \cos x \rangle = 0$ 4. $\langle \sin mx, \sin nx \rangle = 0$ （$m \neq n$） 5. $\langle \cos mx, \cos nx \rangle = 0$ （$m \neq n$）

3. 正規直交系

3.1 正規化

関数 $f$ のノルムは： $$ |f| = \sqrt{\langle f, f \rangle} $$ で定義され、$\|f\| = 1$ のとき $f$ は正規化されているといいます。

3.2 具体例：正規化された三角関数系

\[ \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin 2x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2x}{\sqrt{\pi}}, \ldots \right\} \]

4. 重要ポイントのまとめ

ベクトル空間の理解:
8つの公理を満たす集合
関数空間もベクトル空間の例
内積と直交性:
関数空間における内積の定義
直交性の意味と重要性
三角関数系:
直交性の確認方法
正規化の手順

5. 確認問題

以下の問いについて考えてみましょう： 1. ベクトル空間の定義を自分の言葉で説明できますか？ 2. 関数空間をベクトル空間として扱うことの利点は何ですか？ 3. 三角関数の直交性は、フーリエ級数展開とどのように関係していますか？