フーリエ級数の性質（区間の違いと周期関数への拡張）

基本問題

区間 \([-\pi, \pi)\) で定義された関数 \(f(x) = x\) のフーリエ級数展開を求めよ。

ヒント: 1. 関数の偶奇性を確認しよう 2. 定数項、余弦項、正弦項の係数を計算しよう 3. 計算結果を整理して、フーリエ級数展開の形にまとめよう

区間 \([0, 2\pi)\) で定義された関数 \(f(x) = x\) のフーリエ級数展開を求めよ。

ヒント: 1. 区間の違いによる影響を考えよう 2. 定数項、余弦項、正弦項の係数を計算しよう 3. 計算結果を整理して、フーリエ級数展開の形にまとめよう

問題1と問題2で得られたフーリエ級数展開を比較し、その違いを説明せよ。

ヒント: 1. 定数項の違いを確認しよう 2. 三角関数の係数の違いを確認しよう 3. 区間の違いがフーリエ級数に与える影響を考えよう

区間 \([0, \pi)\) で定義された関数 \(f(x) = x\) を以下の2つの方法で周期 \(2\pi\) の周期関数に拡張する：

それぞれの場合について、拡張された関数のフーリエ級数展開を求めよ。

ヒント: 1. 各拡張方法での関数の形を正確に記述しよう 2. 偶関数・奇関数の性質を利用して計算を簡略化しよう 3. 係数の計算結果を整理して、フーリエ級数展開の形にまとめよう

問題4で得られた2つのフーリエ級数展開を比較し、その違いを説明せよ。

ヒント: 1. 係数の減衰速度を比較しよう 2. 収束性の違いを考えよう 3. ギブス現象の発生の有無を確認しよう

問題4で得られた2つのフーリエ級数展開について、\(x = 2\pi\) での収束性を考察せよ。特に、不連続点でのギブス現象について言及すること。

ヒント: 1. 不連続点での左右の極限値を求めよう 2. フーリエ級数の収束値と極限値の関係を考えよう 3. ギブス現象の特徴を説明しよう

区間 \([-\pi, \pi)\) で定義された関数 \(f(x) = x^3\) を周期 \(2\pi\) の周期関数に拡張した場合のフーリエ級数展開について、以下の問いに答えてください。

周期関数に拡張した関数 \(f(x)\) の不連続点を特定し、その点での左右の極限値を求めなさい。
フーリエ級数展開を求め、\(x = \pi\) での収束値を計算しなさい。この値は \(\pi^3\) と一致するか考察しなさい。
不連続点でのフーリエ級数の振る舞いを利用して、\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}\) の値を求めなさい。

ヒント: 1. 問題1では、周期関数としての拡張を正確に記述してください。 2. 問題2では、不連続点でのフーリエ級数の収束値が左右の極限の平均値になることを活用してください。 3. 問題3では、\(x = \frac{\pi}{2}\) での値を考えると良いでしょう。