第13回 ラプラス変換による常微分方程式の解法 演習問題
基本問題
問題1
以下の1階斉次微分方程式をラプラス変換を用いて解きなさい：
\[
y' + 3y = 0, \quad y(0) = 2
\]
問題2
以下の1階非斉次微分方程式をラプラス変換を用いて解きなさい：
\[
y' + 2y = e^{-t}, \quad y(0) = 1
\]
問題3
以下の2階斉次微分方程式をラプラス変換を用いて解きなさい：
\[
y'' + 4y' + 4y = 0, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 0
\]
標準問題
問題4
以下の2階非斉次微分方程式をラプラス変換を用いて解きなさい：
\[
y'' + y = \cos t, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 1
\]
問題5
以下の微分方程式の解の存在と一意性を確認し、ラプラス変換を用いて解きなさい：
\[
y'' + 2y' + 5y = e^{-t}\sin t, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 1
\]
発展問題
問題6
以下の微分方程式系をラプラス変換を用いて解きなさい：
\[
\begin{cases}
x' + 2x - y = 0 \\
y' - x + 2y = e^{-t}
\end{cases}, \quad x(0) = 1, \quad y(0) = 0
\]
問題7
以下の微分方程式の解の存在と一意性を証明し、ラプラス変換を用いて解きなさい：
\[
y'' + y' + y = f(t), \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 0
\]
ここで、\(f(t)\) は連続かつ有界な関数とする。