第1回：ベクトル空間と基底（関数空間における直交系）解答例

基本問題

問題1

解答: 1. 実数全体の集合 $\mathbb{R}$ がベクトル空間となることを示す。

ベクトル空間の定義を確認: ベクトル空間 $V$ は以下の8つの公理を満たす必要がある： 1. 加法の閉性：$\forall u, v \in V, u + v \in V$ 2. 加法の結合律：$\forall u, v, w \in V, (u + v) + w = u + (v + w)$ 3. 加法の交換律：$\forall u, v \in V, u + v = v + u$ 4. 零元の存在：$\exists 0 \in V, \forall v \in V, v + 0 = v$ 5. 逆元の存在：$\forall v \in V, \exists -v \in V, v + (-v) = 0$ 6. スカラー倍の閉性：$\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall v \in V, \alpha v \in V$ 7. スカラー倍の分配律：$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \forall v \in V, (\alpha + \beta)v = \alpha v + \beta v$ 8. スカラー倍の結合律：$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \forall v \in V, \alpha(\beta v) = (\alpha \beta)v$

$\mathbb{R}$ において： - 通常の加法と乗法は閉じている - 結合律、交換律は実数の性質から成り立つ - 零元は0 - 逆元は各実数に対してその符号を反転させたもの - スカラー倍は通常の実数の乗法で、これも閉じている - 分配律、結合律は実数の性質から成り立つ

したがって、$\mathbb{R}$ はベクトル空間である。

区間 $[0, 1]$ 上の連続関数全体の集合 $C[0, 1]$ がベクトル空間となることを示す。

関数空間の定義を確認: 関数の加法とスカラー倍を以下のように定義する： - $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ - $(\alpha f)(x) = \alpha f(x)$

このとき： - 連続関数の和は連続関数 - 連続関数のスカラー倍は連続関数 - 零元は恒等的に0の関数 - 逆元は各関数の符号を反転させた関数 - その他の公理も実数の性質から成り立つ

したがって、$C[0, 1]$ はベクトル空間である。

思考プロセス: 1. まずベクトル空間の定義を確認 2. 各公理が成り立つことを具体的に示す 3. 関数空間の場合は、関数の演算を定義してから各公理を確認

関連する定義/定理: - ベクトル空間の公理 - 連続関数の性質（和、スカラー倍も連続）

問題2

解答: 区間 $[-\pi, \pi]$ 上の内積を $$ \langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) \, dx $$ で定義する。

$f(x) = 1$ と $g(x) = \sin x$ の直交性： $$ \langle 1, \sin x \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot \sin x \, dx = 0 $$ （$\sin x$ は奇関数で、$[-\pi, \pi]$ での積分は0）
$f(x) = \sin x$ と $g(x) = \cos x$ の直交性： $$ \langle \sin x, \cos x \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \sin x \cos x \, dx = 0 $$ （$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ で、これは奇関数）

したがって、両方の組は直交している。

思考プロセス: 1. 内積の定義を確認 2. 積分計算を実行 3. 関数の偶奇性を利用して計算を簡略化

関連する定義/定理: - 直交性の定義 - 偶関数・奇関数の性質 - 三角関数の積分公式

標準問題

問題3

解答: 各関数の組が正規直交系をなすことを示す。

正規性の確認： $$ \begin{align} \left| \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right|^2 &= \int_{-\pi}^{\pi} \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right)^2 dx = 1 \ \left| \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}} \right|^2 &= \int_{-\pi}^{\pi} \left( \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}} \right)^2 dx = 1 \ \left| \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}} \right|^2 &= \int_{-\pi}^{\pi} \left( \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}} \right)^2 dx = 1 \end{align} $$
直交性の確認： $$ \begin{align} \left\langle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}} \right\rangle &= 0 \ \left\langle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}} \right\rangle &= 0 \ \left\langle \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}} \right\rangle &= 0 \end{align} $$

したがって、この関数の組は正規直交系をなす。

思考プロセス: 1. 正規性と直交性の定義を確認 2. 各関数のノルムを計算 3. 異なる関数間の内積を計算

関連する定義/定理: - 正規直交系の定義 - 三角関数の積分公式 - 偶関数・奇関数の性質

問題4

解答: グラム・シュミットの直交化法を用いる。

まず $v_1 = 1$ を正規化： $$ e_1 = \frac{v_1}{|v_1|} = 1 $$
$v_2 = x$ を $e_1$ に直交化： $$ \begin{align} w_2 &= v_2 - \langle v_2, e_1 \rangle e_1 \ &= x - \left( \int_{0}^{1} x \cdot 1 \, dx \right) \cdot 1 \ &= x - \frac{1}{2} \end{align} $$
$w_2$ を正規化： $$ |w_2|^2 = \int_{0}^{1} \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 dx = \frac{1}{12} $$ したがって、 $$ e_2 = \frac{w_2}{|w_2|} = \sqrt{12}\left(x - \frac{1}{2}\right) $$

思考プロセス: 1. グラム・シュミットの直交化法の手順を確認 2. 各ステップで必要な内積を計算 3. 正規化のためのノルムを計算

関連する定義/定理: - グラム・シュミットの直交化法 - 内積の定義 - ノルムの計算方法

発展問題

問題5

解答: 1. 直交性の確認：

まず、異なる関数間の内積を計算する：

a) 定数関数と三角関数： $$ \langle 1, \sin nx \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \, dx = 0 $$ $$ \langle 1, \cos nx \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \, dx = 0 $$

b) 異なる周波数の三角関数： $$ \langle \sin mx, \sin nx \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx = 0 \quad (m \neq n) $$ $$ \langle \cos mx, \cos nx \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx = 0 \quad (m \neq n) $$ $$ \langle \sin mx, \cos nx \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \, dx = 0 $$

正規化：

各関数のノルムを計算： $$ |1|^2 = \int_{-\pi}^{\pi} 1^2 dx = 2\pi $$ $$ |\sin nx|^2 = |\cos nx|^2 = \pi $$

したがって、正規直交系は：

\[ \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin 2x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2x}{\sqrt{\pi}}, \ldots \right\} \]

思考プロセス: 1. 直交性の確認のために、異なる関数間の内積を計算 2. 三角関数の積分公式を活用 3. 正規化のために各関数のノルムを計算

関連する定義/定理: - 直交系の定義 - 三角関数の直交性 - 三角関数の積分公式 - フーリエ級数の基底