第12回ラプラス変換の計算演習講義ノート

学習目標

この授業では、以下の概念と技能を習得することを目指します： - 基本的なラプラス逆変換の計算方法を理解する - 部分分数分解を用いたラプラス逆変換の計算方法を習得する - 微分方程式をラプラス変換を用いて解く方法を理解する

1. 基本的なラプラス逆変換

1.0 ラプラス逆変換の公式

ラプラス逆変換は以下の複素積分で定義されます：

\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s)e^{st}ds \]

ここで、$c$は$F(s)$のすべての特異点の実部より大きい実数です。

この積分を直接計算することは一般的に非常に困難です。そのため、実際の計算では以下のような方法を用います： 1. 基本的な変換対の表を利用する 2. 部分分数分解を適用する 3. 完全平方を用いて変形する 4. シフト定理や畳み込み定理などの性質を利用する

1.1 完全平方を用いた逆変換

分母が2次式の場合、完全平方の形に変形することで逆変換を求めやすくなります。

例1: $$ F(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 5} $$

分母を完全平方の形に変形：

\[ s^2 + 4s + 5 = (s^2 + 4s + 4) + 1 = (s+2)^2 + 1 \]

基本的な形に帰着：

\[ \frac{1}{(s+2)^2 + 1} \]

これは $\frac{1}{s^2 + 1}$ の形を $s$ を $s+2$ で置き換えたものです。

シフト定理を適用：

\[ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{(s+2)^2 + 1}\right] = e^{-2t} \sin t \]

1.2 分子の調整

分子が1次式の場合、分母の形に合わせて調整します。

例2: $$ F(s) = \frac{s+1}{s^2 + 2s + 2} $$

分母を完全平方の形に：

\[ s^2 + 2s + 2 = (s+1)^2 + 1 \]

分子を調整：

\[ \frac{s+1}{(s+1)^2 + 1} \]

これは $\frac{s}{s^2 + 1}$ の形を $s$ を $s+1$ で置き換えたものです。

シフト定理を適用：

\[ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{s+1}{(s+1)^2 + 1}\right] = e^{-t} \cos t \]

2. 部分分数分解を用いた逆変換

2.1 基本的な部分分数分解

分母が因数分解できる場合、部分分数分解を用いて逆変換を求めます。

例3:

\[ F(s) = \frac{1}{s(s^2 + 1)} \]

部分分数分解の形を設定：

\[ \frac{1}{s(s^2 + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 1} \]

係数を決定：
両辺に $s(s^2 + 1)$ を掛けて：

\[ 1 = A(s^2 + 1) + (Bs + C)s \]

係数を比較：
- $s^2$ の係数：$A + B = 0$
- $s$ の係数：$C = 0$
- 定数項：$A = 1$
よって、$A = 1$, $B = -1$, $C = 0$
逆変換を適用して解の候補を得る：

\[ \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 + 1}\right] = 1 - \cos t \]

得られた関数が実際に解となることを確認：
この関数は連続的微分可能
元の微分方程式に代入して、等式が成り立つことを確認
初期条件も満たすことを確認

3. 微分方程式への応用

3.1 2階線形微分方程式

ラプラス変換を用いて微分方程式を解く手順を示します。

例4: $$ y'' + 3y' + 2y = 0, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 $$

ラプラス変換を適用：

\[ s^2Y(s) - s + 3(sY(s) - 1) + 2Y(s) = 0 \]

$Y(s)$ について解く：

\[ Y(s) = \frac{s+3}{s^2 + 3s + 2} = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2} \]

逆変換を適用して解の候補を得る：

\[ y(t) = 2e^{-t} - e^{-2t} \]

得られた関数が実際に解となることを確認：
この関数は連続的微分可能
元の微分方程式に代入：

\[ (2e^{-t} - e^{-2t})'' + 3(2e^{-t} - e^{-2t})' + 2(2e^{-t} - e^{-2t}) = 0 \]

初期条件の確認：

\[ y(0) = 2e^0 - e^0 = 1 \]

\[ y'(0) = -2e^0 + 2e^0 = 0 \]

以上より、この関数は与えられた微分方程式の解であることが確認できる

4. 重要ポイントのまとめ

完全平方の利用
分母が2次式の場合、完全平方の形に変形する
シフト定理を適用して逆変換を求める
部分分数分解
分母が因数分解できる場合、部分分数分解を行う
係数を比較して未知数を決定する
微分方程式の解法
初期条件を考慮してラプラス変換を適用する
代数方程式を解いて $Y(s)$ を求める
逆変換を適用して解の候補を得る
得られた関数が実際に微分方程式の解となることを確認する
解の存在と一意性
ラプラス変換によって得られた関数は解の候補である
不連続点や特異点での解の性質を個別に検討する必要がある
必要に応じて、得られた関数が微分方程式を満たすことを直接確認する

5. 練習問題のヒント

完全平方を作る際は、定数項を調整することを忘れない
部分分数分解では、分母の因数に注意して分解の形を決める
微分方程式を解く際は、初期条件を正確に反映させる

第12回 ラプラス変換の計算演習 講義ノート