第13回 ラプラス変換による常微分方程式の解法 解説

基本問題の解説

問題1の解説

1. ラプラス変換を適用：
2. 左辺：\(y' + 3y\) のラプラス変換
3. \(y'\) のラプラス変換：\(sY(s) - y(0) = sY(s) - 2\)
4. \(3y\) のラプラス変換：\(3Y(s)\)
5. 右辺：\(0\) のラプラス変換は \(0\)

\[ sY(s) - 2 + 3Y(s) = 0 \]

1. \(Y(s)\) について解く：
2. \(Y(s)\) の項を左辺にまとめる
3. \((s + 3)Y(s) = 2\)
4. 両辺を \((s + 3)\) で割る

\[ Y(s) = \frac{2}{s + 3} \]

1. 逆ラプラス変換：
2. \(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s + a}\} = e^{-at}\) の公式を使用
3. \(a = 3\) の場合

\[ y(t) = 2e^{-3t} \]

問題2の解説

1. ラプラス変換を適用：
2. 左辺：\(y' + 2y\) のラプラス変換
3. \(y'\) のラプラス変換：\(sY(s) - y(0) = sY(s) - 1\)
4. \(2y\) のラプラス変換：\(2Y(s)\)
5. 右辺：\(e^{-t}\) のラプラス変換は \(\frac{1}{s + 1}\)

\[ sY(s) - 1 + 2Y(s) = \frac{1}{s + 1} \]

1. \(Y(s)\) について解く：
2. \(Y(s)\) の項を左辺にまとめる
3. \((s + 2)Y(s) = 1 + \frac{1}{s + 1}\)
4. 右辺を通分：\(\frac{(s + 1) + 1}{s + 1} = \frac{s + 2}{s + 1}\)
5. 両辺を \((s + 2)\) で割る

\[ Y(s) = \frac{1}{s + 1} \]

1. 逆ラプラス変換：
2. \(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s + 1}\} = e^{-t}\) の公式を使用

\[ y(t) = e^{-t} \]

問題3の解説

1. ラプラス変換を適用：
2. 左辺：\(y'' + 4y' + 4y\) のラプラス変換
3. \(y''\) のラプラス変換：\(s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - s\)
4. \(4y'\) のラプラス変換：\(4(sY(s) - y(0)) = 4sY(s) - 4\)
5. \(4y\) のラプラス変換：\(4Y(s)\)
6. 右辺：\(0\) のラプラス変換は \(0\)

\[ s^2Y(s) - s + 4(sY(s) - 1) + 4Y(s) = 0 \]

1. \(Y(s)\) について解く：
2. \(Y(s)\) の項を左辺にまとめる
3. \((s^2 + 4s + 4)Y(s) = s + 4\)
4. 分母を因数分解：\(s^2 + 4s + 4 = (s + 2)^2\)
5. 部分分数分解：\(\frac{s + 4}{(s + 2)^2} = \frac{1}{s + 2} + \frac{2}{(s + 2)^2}\)

\[ Y(s) = \frac{s + 4}{s^2 + 4s + 4} = \frac{s + 4}{(s + 2)^2} = \frac{1}{s + 2} + \frac{2}{(s + 2)^2} \]

1. 逆ラプラス変換：
2. \(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s + 2}\} = e^{-2t}\)
3. \(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{(s + 2)^2}\} = te^{-2t}\)
4. これらを組み合わせる

\[ y(t) = e^{-2t} + 2te^{-2t} = (1 + 2t)e^{-2t} \]

標準問題の解説

問題4の解説

1. 解の存在と一意性の確認：
2. 係数が定数（\(a = 0\), \(b = 1\)）なので、リプシッツ条件は自明に満たされる
3. 非斉次項 \(\sin t\) は連続かつ有界（\(|\sin t| \leq 1\)）
4. 特性方程式 \(s^2 + 1 = 0\) の解は \(s = \pm i\) で、実部が0なので安定

5. 以上より、解の存在と一意性が保証される

6. ラプラス変換を適用：

7. 左辺：\(y'' + y\) のラプラス変換
8. \(y''\) のラプラス変換：\(s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - 1\)
9. \(y\) のラプラス変換：\(Y(s)\)
10. 右辺：\(\sin t\) のラプラス変換は \(\frac{1}{s^2 + 1}\)

\[ s^2Y(s) - 1 + Y(s) = \frac{1}{s^2 + 1} \]

1. \(Y(s)\) について解く：
2. \(Y(s)\) の項を左辺にまとめる
3. \((s^2 + 1)Y(s) = 1 + \frac{1}{s^2 + 1}\)
4. 右辺を通分：\(\frac{(s^2 + 1) + 1}{s^2 + 1} = \frac{s^2 + 2}{s^2 + 1}\)
5. 両辺を \((s^2 + 1)\) で割る

\[ Y(s) = \frac{1}{s^2 + 1} + \frac{1}{(s^2 + 1)^2} \]

1. 逆ラプラス変換：
2. 第一項：\(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s^2 + 1}\} = \sin t\)
3. 第二項：\(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{(s^2 + 1)^2}\} = \frac{1}{2}(\sin t - t\cos t)\)
   • この変換は、\(\frac{1}{(s^2 + 1)^2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{s^2 + 1} - \frac{s^2}{(s^2 + 1)^2})\) の部分分数分解を使用
   • \(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{s^2}{(s^2 + 1)^2}\} = t\cos t\) の公式を適用
4. これらを組み合わせる

\[ y(t) = \sin t + \frac{1}{2}(\sin t - t\cos t) = \frac{1}{2}(3\sin t - t\cos t) \]

1. 解の検証：
2. 初期条件の確認：
   • \(y(0) = \frac{1}{2}(3\sin 0 - 0\cos 0) = 0\) ✓
   • \(y'(t) = \frac{1}{2}(3\cos t - \cos t + t\sin t) = \frac{1}{2}(2\cos t + t\sin t)\)
   • \(y'(0) = \frac{1}{2}(2\cos 0 + 0\sin 0) = 1\) ✓

3. 微分方程式への代入：

   • \(y''(t) = \frac{1}{2}(-2\sin t + \sin t + t\cos t) = \frac{1}{2}(-\sin t + t\cos t)\)
   • \(y'' + y = \frac{1}{2}(-\sin t + t\cos t) + \frac{1}{2}(3\sin t - t\cos t) = \sin t\) ✓

4. 解の性質：

5. 解は \(t \to \infty\) で有界
6. 非斉次項 \(\sin t\) と同じ周期の振動成分を含む
7. \(t\cos t\) の項により、振幅が時間とともに増大する成分も含まれる
8. これは共振現象の一例

問題5の解説

1. 解の存在と一意性：
2. 係数が定数なので、リプシッツ条件は自明に満たされる
3. 非斉次項 \(e^{-t}\sin t\) は連続かつ有界

4. 特性方程式 \(s^2 + 2s + 5 = 0\) の解は \(s = -1 \pm 2i\) で、実部が負なので安定

5. ラプラス変換を適用：

6. 左辺：\(y'' + 2y' + 5y\) のラプラス変換
7. \(y''\) のラプラス変換：\(s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - 1\)
8. \(2y'\) のラプラス変換：\(2(sY(s) - y(0)) = 2sY(s)\)
9. \(5y\) のラプラス変換：\(5Y(s)\)
10. 右辺：\(e^{-t}\sin t\) のラプラス変換は \(\frac{1}{(s + 1)^2 + 1}\)

\[ s^2Y(s) - 1 + 2(sY(s)) + 5Y(s) = \frac{1}{(s + 1)^2 + 1} \]

1. \(Y(s)\) について解く：
2. \(Y(s)\) の項を左辺にまとめる
3. \((s^2 + 2s + 5)Y(s) = 1 + \frac{1}{(s + 1)^2 + 1}\)
4. 右辺を通分して整理

\[ Y(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 5} + \frac{1}{(s^2 + 2s + 5)((s + 1)^2 + 1)} \]

1. 逆ラプラス変換：
2. 第一項：\(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s^2 + 2s + 5}\} = e^{-t}\sin 2t\)
3. 第二項：部分分数分解と逆ラプラス変換の公式を組み合わせて

\[ y(t) = e^{-t}\sin 2t + \frac{1}{4}e^{-t}(\sin 2t - 2t\cos 2t) \]

発展問題の解説

問題6の解説

1. ラプラス変換を適用：
2. 第一式：\(x' + 2x - y\) のラプラス変換
3. \(x'\) のラプラス変換：\(sX(s) - x(0) = sX(s) - 1\)
4. \(2x\) のラプラス変換：\(2X(s)\)
5. \(-y\) のラプラス変換：\(-Y(s)\)
6. 第二式：\(y' - x + 2y\) のラプラス変換
7. \(y'\) のラプラス変換：\(sY(s) - y(0) = sY(s)\)
8. \(-x\) のラプラス変換：\(-X(s)\)
9. \(2y\) のラプラス変換：\(2Y(s)\)
10. 右辺：\(e^{-t}\) のラプラス変換は \(\frac{1}{s + 1}\)

\[ \begin{cases} sX(s) - 1 + 2X(s) - Y(s) = 0 \\ sY(s) - X(s) + 2Y(s) = \frac{1}{s + 1} \end{cases} \]

1. 連立方程式を解く：
2. 第一式から \(Y(s)\) を \(X(s)\) で表す
3. 第二式に代入して \(X(s)\) を求める
4. 得られた \(X(s)\) から \(Y(s)\) を求める

\[ X(s) = \frac{s + 2}{(s + 1)(s + 3)}, \quad Y(s) = \frac{1}{(s + 1)(s + 3)} \]

1. 逆ラプラス変換：
2. 部分分数分解：\(\frac{1}{(s + 1)(s + 3)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{s + 1} - \frac{1}{s + 3})\)
3. \(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s + 1}\} = e^{-t}\)
4. \(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s + 3}\} = e^{-3t}\)

\[ x(t) = \frac{1}{2}e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-3t}, \quad y(t) = \frac{1}{2}e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-3t} \]

問題7の解説

1. 解の存在と一意性の証明：
2. 係数が定数なので、リプシッツ条件は自明に満たされる
3. \(f(t)\) が連続かつ有界なので、解の存在が保証される

4. 特性方程式 \(s^2 + s + 1 = 0\) の解は \(s = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\) で、実部が負なので安定

5. ラプラス変換を適用：

6. 左辺：\(y'' + y' + y\) のラプラス変換
7. \(y''\) のラプラス変換：\(s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s)\)
8. \(y'\) のラプラス変換：\(sY(s) - y(0) = sY(s)\)
9. \(y\) のラプラス変換：\(Y(s)\)
10. 右辺：\(f(t)\) のラプラス変換は \(F(s)\)

\[ s^2Y(s) + sY(s) + Y(s) = F(s) \]

1. \(Y(s)\) について解く：
2. \(Y(s)\) の項を左辺にまとめる
3. \((s^2 + s + 1)Y(s) = F(s)\)
4. 両辺を \((s^2 + s + 1)\) で割る

\[ Y(s) = \frac{F(s)}{s^2 + s + 1} \]

1. 逆ラプラス変換：
2. 畳み込み積分の公式を使用
3. 特性方程式の解から、基本解は \(e^{-\frac{1}{2}t}\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)\)

\[ y(t) = \int_0^t e^{-\frac{1}{2}(t-\tau)}\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}(t-\tau)\right)f(\tau)d\tau \]