第1回：ベクトル空間と基底（関数空間における直交系）問題集

基本問題

問題1

次のベクトル空間の定義を確認せよ：

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ は、通常の加法とスカラー倍に関してベクトル空間となることを示せ。
区間 $[0, 1]$ 上の連続関数全体の集合 $C[0, 1]$ は、通常の関数の加法とスカラー倍に関してベクトル空間となることを示せ。

問題2

次の関数の組が区間 $[-\pi, \pi]$ 上で直交しているかどうかを確認せよ： 1. $f(x) = 1$ と $g(x) = \sin x$ 2. $f(x) = \sin x$ と $g(x) = \cos x$

標準問題

問題3

区間 $[-\pi, \pi]$ 上の関数空間において、内積を $$ \langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) \, dx $$ で定義する。このとき、次の関数の組が正規直交系をなすことを示せ：

\[ \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}} \right\} \]

問題4

区間 $[0, 1]$ 上の関数空間において、内積を $$ \langle f, g \rangle = \int_{0}^{1} f(x)g(x) \, dx $$ で定義する。このとき、関数 $f(x) = x$ を、基底 $\{1, x\}$ を用いて直交化せよ。

発展問題

問題5

区間 $[-\pi, \pi]$ 上の関数空間において、内積を $$ \langle f, g \rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) \, dx $$ で定義する。このとき、次の関数の組が直交系をなすことを示し、さらに正規化せよ： $$ {1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \ldots} $$