拡張フーリエ級数（異なる区間での展開、複素フーリエ級数への導入、周期の変更）

学習目標

この授業では、以下の概念と技能を習得することを目指します： - 任意の区間でのフーリエ級数展開を理解し、計算できる - 複素フーリエ級数展開の概念を理解し、実フーリエ級数との関係を説明できる - 周期の変更によるフーリエ級数の変化を理解し、計算できる

1. 任意の区間でのフーリエ級数展開

1.1 区間の変換

区間 $[a, b)$ で定義された関数 $f(x)$ のフーリエ級数展開を考える。このとき、変数変換 $$ t = \frac{2\pi}{b-a}(x-a) $$ により、区間 $[0, 2\pi)$ での関数 $g(t) = f\left(\frac{b-a}{2\pi}t + a\right)$ に変換できる。

1.2 一般の区間でのフーリエ級数

区間 $[a, b)$ で定義された関数 $f(x)$ のフーリエ級数展開は $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos \frac{2n\pi}{b-a}(x-a) + b_n \sin \frac{2n\pi}{b-a}(x-a)\right) $$ ここで、係数は $$ a_n = \frac{2}{b-a} \int_a^b f(x) \cos \frac{2n\pi}{b-a}(x-a) \, dx $$ $$ b_n = \frac{2}{b-a} \int_a^b f(x) \sin \frac{2n\pi}{b-a}(x-a) \, dx $$

2. 複素フーリエ級数

2.1 オイラーの公式

$$ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta $$ を用いて、三角関数を指数関数で表すことができる。

2.2 複素フーリエ級数の定義

区間 $[-\pi, \pi)$ で定義された関数 $f(x)$ の複素フーリエ級数展開は $$ f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx} $$ ここで、係数は $$ c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} \, dx $$

2.3 実フーリエ級数との関係

\[ c_0 = \frac{a_0}{2}, \quad c_n = \frac{a_n - ib_n}{2}, \quad c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2} \quad (n \geq 1) \]

3. 周期の変更

3.1 周期 $2L$ のフーリエ級数

区間 $[-L, L)$ で定義された関数 $f(x)$ のフーリエ級数展開は $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L}\right) $$ ここで、係数は $$ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} \, dx $$ $$ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \, dx $$

3.2 周期の変更による影響

周波数成分の変化
係数の大きさの変化
収束性への影響

4. 重要ポイントのまとめ

任意の区間での展開：
変数変換により標準的な区間に変換可能
係数の計算式が区間の長さに依存
複素フーリエ級数：
指数関数による簡潔な表現
実フーリエ級数との変換関係
計算の簡略化に有用
周期の変更：
周波数成分の変化
係数の大きさの調整
収束性への影響