第11回 ラプラス変換の基礎 問題集

基本問題

問題1

以下の関数のラプラス変換を導出せよ： 1. \(f(t) = e^{at}\)（\(a\)は定数） 2. \(f(t) = \sin \omega t\)（\(\omega\)は定数） 3. \(f(t) = t^n\)（\(n\)は非負整数）

問題2

ラプラス変換の微分の性質： $$ \mathcal{L}[f'(t)] = sF(s) - f(0) $$ を導出せよ。ただし、\(f(t)\) は区分的に連続で、指数関数的増大条件を満たすとする。

問題3

以下の関数のラプラス変換の収束領域を求めよ： 1. \(f(t) = e^{3t}\) 2. \(f(t) = t^2 e^{-t}\) 3. \(f(t) = e^{t^2}\)

標準問題

問題4

単位ステップ関数 \(u(t-a)\) を用いて、以下の関数のラプラス変換を求めよ： 1. \(f(t) = \begin{cases} 0 & (t < 1) \\ t-1 & (t \geq 1) \end{cases}\) 2. \(f(t) = \begin{cases} \sin t & (0 \leq t < \pi) \\ 0 & (t \geq \pi) \end{cases}\)

問題5

ラプラス変換の微分の性質を用いて、以下の微分方程式の解を求めよ： 1. \(y'' + 4y = 0\), \(y(0) = 1\), \(y'(0) = 0\) 2. \(y' + 2y = e^{-t}\), \(y(0) = 0\)

ヒント

基本問題のヒント

1. 基本的な変換公式を利用する
2. 線形性や微分の性質を活用する
3. 指数関数的増大条件を確認する

標準問題のヒント

1. 単位ステップ関数で表現し直す
2. 初期条件を考慮してラプラス変換を適用する