第9回 フーリエ変換の性質 解答例
基本問題
問題1の解答
畳み込み積分の定義より、
\[
(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y)g(x-y) dy
\]
被積分関数が0でないのは、\(f(y)\)と\(g(x-y)\)が同時に1となる場合である。これは以下の条件を満たすとき：
\[
|y| \leq 1 \quad \text{かつ} \quad |x-y| \leq 2
\]
これを解くと： 1. \(x \leq -3\)のとき：積分範囲は空集合 2. \(-3 < x \leq -1\)のとき：積分範囲は\([-1, x+2]\) 3. \(-1 < x \leq 1\)のとき：積分範囲は\([-1, 1]\) 4. \(1 < x \leq 3\)のとき：積分範囲は\([x-2, 1]\) 5. \(x > 3\)のとき：積分範囲は空集合
したがって、
\[
(f * g)(x) = \begin{cases}
x + 3 & (-3 < x \leq -1) \\
2 & (-1 < x \leq 1) \\
3 - x & (1 < x \leq 3) \\
0 & (\text{その他})
\end{cases}
\]
問題2の解答
\(\frac{\sin x}{x}\)のフーリエ変換は矩形関数であることを利用する。
パーセバルの定理より：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right|^2 dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^2 d\xi
\]
ここで、\(\hat{f}(\xi)\)は矩形関数であり、その2乗の積分は\(2\pi\)である。したがって、
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \pi
\]
標準問題
問題3の解答
まず、\(f(x) = e^{-a|x|}\)のフーリエ変換を求める：
\[
\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|} e^{-i\xi x} dx = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}
\]
畳み込み定理より、
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(a^2 + x^2)(b^2 + x^2)} dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2a}{a^2 + \xi^2} \cdot \frac{2b}{b^2 + \xi^2} d\xi
\]
これを計算すると：
\[
\frac{\pi}{ab(a+b)}
\]
問題4の解答
\(\frac{\sin ax}{x}\)のフーリエ変換は矩形関数であることを利用する。
パーセバルの定理より：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \left|\frac{\sin ax}{x}\right|^2 dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^2 d\xi
\]
ここで、\(\hat{f}(\xi)\)は幅\(2a\)の矩形関数であり、その2乗の積分は\(2a\pi\)である。したがって、
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2} dx = a\pi
\]
発展問題
問題5の解答
\(f(x) = e^{-x^2}\)のフーリエ変換は：
\[
\hat{f}(\xi) = \sqrt{\pi} e^{-\xi^2/4}
\]
畳み込み定理より、
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x^2} \cos(2x) dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x^2} (e^{2ix} + e^{-2ix}) dx
\]
これを計算すると：
\[
\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-1}
\]
問題6の解答
\(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\)のフーリエ変換は：
\[
\hat{f}(\xi) = \pi e^{-|\xi|}
\]
パーセバルの定理より：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1 + x^2)^2} dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \pi^2 e^{-2|\xi|} d\xi = \frac{\pi}{2}
\]