フーリエ級数展開（具体的な関数のフーリエ係数計算、三角関数展開）

学習目標

この授業では、以下の概念と技能を習得することを目指します： - 具体的な関数のフーリエ級数展開を計算できる - 偶関数・奇関数の性質を活用して計算を簡略化できる - 三角関数の性質を理解し、計算に活用できる

1. 主要な概念と定義

1.1 フーリエ級数展開の一般形

区間 $[-\pi, \pi)$ で区分的に連続な関数 $f(x)$ のフーリエ級数展開は以下の形で表される：

\[ \frac{f(x-0) + f(x+0)}{2} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \]

ここで、係数 $a_n$, $b_n$ は以下の式で与えられる：

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \]

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \quad (n = 1, 2, \ldots) \]

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx \quad (n = 1, 2, \ldots) \]

注意: - 関数 $f(x)$ は区間 $[-\pi, \pi)$ で区分的に連続である必要があります。このときフーリエ級数展開が可能です。 - $x$が 連続な点であれば さらに $$ f(x) = \frac{f(x-0) + f(x+0)}{2} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) $$

区間の端点では不連続にもなり得るので特に注意しよう。
このフーリエ級数は、$f(x)$ を周期 $2\pi$ の周期関数として拡張したものに対応します
フーリエ級数展開の収束性や一様収束性については、第2回の講義ノートを参照してください

1.2 偶関数・奇関数の性質

偶関数: $f(-x) = f(x)$
- 例: $x^2$, $\cos x$
- 性質: 偶関数の積分は区間を半分にできる（任意の $a > 0$ について） $$ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx $$
奇関数: $f(-x) = -f(x)$
- 例: $x$, $\sin x$
- 性質: 奇関数の積分は0になる（任意の $a > 0$ について） $$ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 $$
積の性質:
- 偶関数×偶関数 = 偶関数
- 奇関数×奇関数 = 偶関数
- 偶関数×奇関数 = 奇関数

証明: 1. 偶関数の積分:

\[ \begin{aligned} \int_{-a}^{a} f(x) \, dx &= \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx \\ &= \int_{0}^{a} f(-x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx \quad \text{（変数変換）} \\ &= \int_{0}^{a} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx \quad \text{（偶関数の性質）} \\ &= 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \end{aligned} \]

奇関数の積分:

\[ \begin{aligned} \int_{-a}^{a} f(x) \, dx &= \int_{-a}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx \\ &= \int_{0}^{a} f(-x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx \quad \text{（変数変換）} \\ &= -\int_{0}^{a} f(x) \, dx + \int_{0}^{a} f(x) \, dx \quad \text{（奇関数の性質）} \\ &= 0 \end{aligned} \]

注意: これらの性質は任意の $a > 0$ について成り立ちます。特に、$a = \pi$ の場合はフーリエ級数展開の計算でよく用いられます。

1.3 三角関数の性質

$\cos(-x) = \cos x$ （偶関数）
$\sin(-x) = -\sin x$ （奇関数）
$\cos n\pi = (-1)^n$
倍角の公式:
- $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
- $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
証明: 加法定理 $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ において、 $a = b = x$ とおくと、 $$ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $$ これに $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を代入すると、 $$ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x $$ これを変形して、 $$ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \quad \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ が得られます。

2. 計算例

例題1: 奇関数のフーリエ級数展開

関数 $f(x) = x$（$-\pi \le x < \pi$）のフーリエ級数展開を求める。

奇関数であることを確認
$f(-x) = -x = -f(x)$ より奇関数
$a_n$ の計算（$n=0,1,2,\dots$）：
定義式 $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos nx \, dx$ を用いる
$f(x)=x$ は奇関数、$\cos nx$ は偶関数 → 積は奇関数
奇関数の積分は0 → 全ての $n$ に対し $a_n = 0$
$b_n$ の計算（部分積分の詳細）：

\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin nx \, dx \quad \text{（奇関数の性質を利用）} \\ &= \frac{2}{\pi} \left[ -\frac{x \cos nx}{n} \right]_0^{\pi} + \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\cos nx}{n} \, dx \\ &= \frac{2}{\pi} \left( -\frac{\pi \cos n\pi}{n} + 0 \right) + \frac{2}{\pi n} \left[ \frac{\sin nx}{n} \right]_0^{\pi} \\ &= -\frac{2}{n} \cos n\pi + 0 \quad \text{（$\sin n\pi = 0$）} \\ &= \frac{2}{n} (-1)^{n+1} \quad \text{（$\cos n\pi = (-1)^n$）} \end{aligned} \]

フーリエ級数： $$ f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx $$

例題2: 偶関数のフーリエ級数展開

関数 $f(x) = x^2$（$-\pi \le x < \pi$）のフーリエ級数展開を求める。

偶関数であることを確認
$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ より偶関数
$b_n$ の計算
偶関数と奇関数（$\sin nx$）の積は奇関数
奇関数の積分は0なので、$b_n = 0$
$a_n \ (n \geq 1)$ の計算（部分積分の詳細）：

\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos nx \, dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos nx \, dx \quad \text{（偶関数の性質を利用）} \\ &= \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2 \sin nx}{n} \right]_0^{\pi} - \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{2x \sin nx}{n} \, dx \\ &= 0 - \frac{4}{\pi n} \int_{0}^{\pi} x \sin nx \, dx \quad \text{（$\sin n\pi = 0$）} \\ &= -\frac{4}{\pi n} \left( \left[ -\frac{x \cos nx}{n} \right]_0^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \frac{\cos nx}{n} \, dx \right) \\ &= -\frac{4}{\pi n} \left( -\frac{\pi \cos n\pi}{n} + 0 \right) \quad \text{（$\sin n\pi = 0$）} \\ &= \frac{4}{n^2} (-1)^n \quad \text{（$\cos n\pi = (-1)^n$）} \end{aligned} \]

$a_0$ の計算：

\[ \begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx \quad \text{（偶関数の性質を利用）} \\ &= \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\pi} \\ &= \frac{2\pi^2}{3} \end{aligned} \]

結果：

\[ f(x) = \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx \]

3. 重要ポイントのまとめ

計算の効率化:
- 関数が偶関数か奇関数かを最初に確認
- 適切な性質を活用して計算を簡略化
- 三角関数の性質を活用
注意点:
- 積分区間を正しく設定
- 部分積分を適切に用いる
- 計算結果の簡略化を忘れない