第12回 ラプラス変換の計算演習 解答例
基本問題
問題1
\[
F(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 5}
\]
- まず、分母を完全平方の形に変形します：
\[
s^2 + 4s + 5 = (s^2 + 4s + 4) + 1 = (s+2)^2 + 1
\]
- したがって：
\[
F(s) = \frac{1}{(s+2)^2 + 1}
\]
- これは、\(\frac{1}{s^2 + 1}\) の形を \(s\) を \(s+2\) で置き換えたものです
- \(\frac{1}{s^2 + 1}\) の逆変換は \(\sin t\) なので、シフト定理により：
\[
f(t) = e^{-2t} \sin t
\]
\[
F(s) = \frac{s+1}{s^2 + 2s + 2}
\]
- 分母を完全平方の形に変形します：
\[
s^2 + 2s + 2 = (s^2 + 2s + 1) + 1 = (s+1)^2 + 1
\]
- 分子も同じ形に合わせます：
\[
\frac{s+1}{(s+1)^2 + 1}
\]
- これは、\(\frac{s}{s^2 + 1}\) の形を \(s\) を \(s+1\) で置き換えたものです
- \(\frac{s}{s^2 + 1}\) の逆変換は \(\cos t\) なので、シフト定理により：
\[
f(t) = e^{-t} \cos t
\]
\[
F(s) = \frac{1}{s(s^2 + 1)}
\]
- 部分分数分解を行います：
\[
\frac{1}{s(s^2 + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 1}
\]
- 両辺に \(s(s^2 + 1)\) を掛けて：
\[
1 = A(s^2 + 1) + (Bs + C)s
\]
- \(s\) の係数を比較して：
- \(s^2\) の係数：\(A + B = 0\)
- \(s\) の係数：\(C = 0\)
- 定数項：\(A = 1\)
- よって、\(A = 1\), \(B = -1\), \(C = 0\) となり：
\[
F(s) = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 + 1}
\]
- 各項の逆変換を求めると：
- \(\frac{1}{s}\) の逆変換は \(1\)
- \(\frac{s}{s^2 + 1}\) の逆変換は \(\cos t\)
- したがって：
\[
f(t) = 1 - \cos t
\]
問題2
\[
F(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2}
\]
- 逆変換：
\[
f(t) = e^{-t} - e^{-2t}
\]
\[
F(s) = \frac{s}{(s-1)(s-2)(s-3)} = \frac{1/2}{s-1} - \frac{2}{s-2} + \frac{3/2}{s-3}
\]
- 逆変換：
\[
f(t) = \frac{1}{2}e^t - 2e^{2t} + \frac{3}{2}e^{3t}
\]
\[
F(s) = \frac{1}{s^2(s+1)} = \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s} + \frac{1}{s+1}
\]
- 逆変換：
\[
f(t) = t - 1 + e^{-t}
\]
標準問題
問題3
- 微分方程式：
\[
y'' + 3y' + 2y = 0
\]
- ラプラス変換：
\[
s^2Y(s) - s + 3(sY(s) - 1) + 2Y(s) = 0
\]
- 解：
\[
Y(s) = \frac{s+3}{s^2 + 3s + 2} = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2}
\]
- 逆変換：
\[
y(t) = 2e^{-t} - e^{-2t}
\]
- 微分方程式：
\[
y'' + 4y = \sin t
\]
- ラプラス変換：
\[
s^2Y(s) - 1 + 4Y(s) = \frac{1}{s^2 + 1}
\]
- 解：
\[
Y(s) = \frac{s^2 + 2}{(s^2 + 1)(s^2 + 4)} = \frac{1/3}{s^2 + 1} + \frac{2/3}{s^2 + 4}
\]
- 逆変換：
\[
y(t) = \frac{1}{3}\sin t + \frac{1}{3}\sin 2t
\]