第10回 フーリエ変換による偏微分方程式の解法

変換・解法・逆変換の三段階アプローチ

📚 学習目標

本講義で理解すべきポイント

  • フーリエ変換による偏微分方程式の解法の基本的な考え方
  • 熱方程式と波動方程式への具体的な適用方法
  • 解法の特徴と限界の理解
  • 変換公式とその物理的意味

🔄 解法の基本フロー

📥 ステップ1

フーリエ変換

偏微分方程式に変換を適用
空間微分→代数演算

→

⚙️ ステップ2

常微分方程式の解

変換後の方程式を解く
初期条件も変換して適用

→

📤 ステップ3

逆フーリエ変換

元の解を復元
必要に応じて複素解析

🔄 フーリエ変換の双対性とPDE解法

📐 微分作用素の双対性

$$\mathcal{F}[\partial_x^n u](k) = (ik)^n \hat{u}(k)$$

空間領域での微分作用素 $\partial_x^n$ が周波数領域での乗算作用素 $(ik)^n$ に対応

🔀 変数変換の本質

PDE: $L[u] = f$ （$L$は微分作用素）

↓ フーリエ変換

ODE: $M[\hat{u}] = \hat{f}$ （$M$は代数作用素）

複雑な偏微分作用素が単純な代数作用素に変換される

🔧 合成積（畳み込み）と基本解

📘 合成積の定義

$$(f * g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y)dy = \int_{-\infty}^{\infty} f(y)g(x-y)dy$$

フーリエ変換の逆変換で現れる積分形式の基礎

🎯 基本解（Green関数）

熱方程式の基本解：

$$G(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi\alpha t}}e^{-\frac{x^2}{4\alpha t}}$$

解の合成積表現：

$$u(x,t) = (u_0 * G_t)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)G(x-y,t)dy$$

⚡ 合成積の変換性質

$$\mathcal{F}[f * g] = \sqrt{2\pi} \, \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]$$

合成積がフーリエ変換により積に変換される（双対性の核心）

🔧 基本的な変換公式

📐 時間微分の変換

$$\mathcal{F}[u_t(x,t)] = \frac{d}{dt}\hat{u}(k,t)$$

時間微分は変換後も微分の形を保つ

📏 空間微分の変換

$$\mathcal{F}[u_x(x,t)] = ik\hat{u}(k,t)$$

空間微分は $ik$ を掛ける操作に変換

📐 2階空間微分の変換

$$\mathcal{F}[u_{xx}(x,t)] = -k^2\hat{u}(k,t)$$

2階微分は $-k^2$ を掛ける操作に変換

🌡️ 熱方程式の解法

基本方程式

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

解法の手順

  1. フーリエ変換の適用

    左辺：$\mathcal{F}[u_t(x,t)] = \frac{d}{dt}\hat{u}(k,t)$

    右辺：$\mathcal{F}[\alpha u_{xx}(x,t)] = -\alpha k^2\hat{u}(k,t)$

  2. 変換後の方程式
    $$\frac{d}{dt}\hat{u}(k,t) = -\alpha k^2\hat{u}(k,t)$$
  3. 常微分方程式の解
    $$\hat{u}(k,t) = \hat{u}(k,0)e^{-\alpha k^2t}$$
  4. 逆フーリエ変換
    $$u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{u}(k,0)e^{-\alpha k^2t}e^{ikx}dk$$

🔍 数学的視点

  • 双対性の活用： 空間領域の微分が周波数領域の乗算に変換される双対性により、PDE → ODE変換が実現
  • 指数核の特性： 解 $e^{-\alpha k^2t}$ は Green関数の生成関数として機能
  • 合成積表現： 最終解は初期条件と基本解の合成積：$u(x,t) = (u_0 * G_t)(x)$

〰️ 波動方程式の解法

基本方程式

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

解法の手順

  1. フーリエ変換の適用

    左辺：$\mathcal{F}[u_{tt}(x,t)] = \frac{d^2}{dt^2}\hat{u}(k,t)$

    右辺：$\mathcal{F}[c^2u_{xx}(x,t)] = -c^2k^2\hat{u}(k,t)$

  2. 変換後の方程式
    $$\frac{d^2}{dt^2}\hat{u}(k,t) = -c^2k^2\hat{u}(k,t)$$
  3. 常微分方程式の解
    $$\hat{u}(k,t) = A(k)\cos(ckt) + B(k)\sin(ckt)$$
  4. 初期条件の適用

    $u(x,0) = f(x)$、$u_t(x,0) = g(x)$ より

    $A(k) = \hat{f}(k)$、$B(k) = \frac{\hat{g}(k)}{ck}$

  5. 逆フーリエ変換
    $$u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\hat{f}(k)\cos(ckt) + \frac{\hat{g}(k)}{ck}\sin(ckt)\right]e^{ikx}dk$$

🔍 数学的視点

  • 振動解の構造： 三角関数の線形結合は周波数領域での単純な表現を持つ
  • 因果律と双対性： 初期条件が周波数成分ごとに独立に発展
  • ダランベールの公式： 逆変換により特性曲線解（進行波解）が復元される

⚖️ 熱方程式と波動方程式の比較

項目 熱方程式 波動方程式
方程式の次数 1階（時間）、2階（空間） 2階（時間）、2階（空間）
変換後の方程式 1階常微分方程式 2階常微分方程式
解の性質 指数的減衰（半群性） 周期的（ユニタリ群）
数学的構造 放物型PDE、最大原理 双曲型PDE、保存則
初期条件 $u(x,0) = f(x)$のみ $u(x,0) = f(x)$と$u_t(x,0) = g(x)$

🔑 フーリエ解析の数学的要点

解法の数学的核心

  • 双対性： 微分作用素と乗算作用素の対応関係を活用
  • 分離変数： 周波数成分ごとに独立なODEに分解
  • 合成積表現： 基本解と初期条件の合成積として解を構成
  • 積分変換理論： Green関数法の体系的実装
  • 解析的性質： 解の正則性、減衰性、対称性の保存

🔄 一般的な解法スキーム

1. 作用素の変換：

$L: X \to Y$ （偏微分作用素）

$\mathcal{F} \circ L \circ \mathcal{F}^{-1} = M$ （乗算作用素）

2. ODE求解：

$M[\hat{u}] = \hat{f}$ $\Rightarrow$ $\hat{u} = M^{-1}[\hat{f}]$

3. 逆変換による解復元：

$u = \mathcal{F}^{-1}[\hat{u}] = \mathcal{F}^{-1}[M^{-1}[\hat{f}]]$

📝 まとめ

フーリエ変換による偏微分方程式の解法は、双対性・変数分離・合成積の三つの数学的原理に基づきます。微分作用素が乗算作用素に変換される双対性により、複雑なPDEが扱いやすいODEに変換されます。


基本解（Green関数）と初期条件の合成積として解が表現されることで、積分変換理論の体系的な枠組みが完成します。このアプローチは、古典的なフーリエ解析の精神を現代的な関数解析の視点で再構成したものと捉えることができます。

💡 学習のポイント： フーリエ変換の双対性を理解し、微分作用素の代数化という抽象化の威力を実感することが重要です。合成積の幾何学的・解析的意味を把握することで、積分変換法の本質が見えてきます。