第8回フーリエ変換の導入問題集

基本問題

次の関数のフーリエ変換を求めよ：

\[ f(x) = \begin{cases} 1 & (|x| \leq 1) \\ 0 & (|x| > 1) \end{cases} \]

フーリエ変換の基本的な性質を用いて、次の関数のフーリエ変換を求めよ： $$ f(x) = e^{-a|x-b|} \quad (a > 0, b \in \mathbb{R}) $$

ヒント： - まず $e^{-a|x|}$ のフーリエ変換を計算し、その後平行移動の性質を適用する - 絶対値関数の積分は、$x=0$ で場合分けして計算する - 指数関数の積分では、収束性に注意する

次の関数のフーリエ変換を求めよ： $$ f(x) = e^{-a|x|} \sin(bx) \quad (a > 0, b > 0) $$

ヒント： - オイラーの公式を用いて $\sin(bx)$ を表現する - 問題2の結果を利用する

フーリエ変換のスケーリング性質を用いて、次の関数のフーリエ変換を求めよ： $$ f(x) = \frac{1}{1 + x^2} $$

ヒント： - 既知のフーリエ変換の結果を利用する - 逆フーリエ変換の性質を考える

次の関数のフーリエ変換を求め、その収束性について議論せよ： $$ f(x) = \frac{\sin x}{x} $$

ヒント： - 矩形関数のフーリエ変換の結果を利用する - 収束性については、絶対可積分性と $L^2$ 空間での収束を考える

フーリエ変換の畳み込み積分の性質を用いて、次の積分を計算せよ： $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin(x-a)}{x-a} dx \quad (a \in \mathbb{R}) $$

ヒント： - 畳み込み積分の性質を利用する - 問題5の結果を利用する