第8回 フーリエ変換の導入 講義ノート
学習目標
この授業では、以下の概念と技能を習得することを目指します：
- フーリエ級数からフーリエ変換への移行を理解する
- フーリエ変換の定義と基本的な性質を理解する
- 具体的な関数のフーリエ変換を計算できる
- フーリエ変換の応用について理解する
1. フーリエ級数からフーリエ変換へ
1.1 フーリエ級数の復習
周期 \(2\pi\) の関数 \(f(x)\) のフーリエ級数展開：
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)
$$
周期 \(2L\) の関数への拡張：
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L}\right)
$$
1.2 フーリエ変換への移行
オイラーの公式からの導出：
1. オイラーの公式を用いて三角関数を複素指数関数で表現：
\[
\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}
\]
- 周期 \(2L\) のフーリエ級数を複素指数関数で表現：
\[
\begin{aligned}
f(x) &\sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L}\right) \\
&= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \frac{e^{i\frac{n\pi x}{L}} + e^{-i\frac{n\pi x}{L}}}{2} + b_n \frac{e^{i\frac{n\pi x}{L}} - e^{-i\frac{n\pi x}{L}}}{2i}\right) \\
&= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a_n - ib_n}{2} e^{i\frac{n\pi x}{L}} + \frac{a_n + ib_n}{2} e^{-i\frac{n\pi x}{L}}\right)
\end{aligned}
\]
- 係数を整理して複素フーリエ級数に：
- \(c_0 = \frac{a_0}{2}\)
- \(c_n = \frac{a_n - ib_n}{2}\) （\(n > 0\)）
- \(c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2}\) （\(n > 0\)）
とおくと：
\[
f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{n\pi x}{L}}
\]
- 係数 \(c_n\) の計算：
複素指数関数の直交性：
\[
\int_{-L}^{L} e^{i\frac{m\pi x}{L}} e^{-i\frac{n\pi x}{L}} dx =
\begin{cases}
2L & (m = n) \\
0 & (m \neq n)
\end{cases}
\]
を用いて、\(f(x)\) の両辺に \(e^{-i\frac{n\pi x}{L}}\) を掛けて積分すると：
\[
\int_{-L}^{L} f(x) e^{-i\frac{n\pi x}{L}} dx = c_n \cdot 2L
\]
したがって：
\[
c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i\frac{n\pi x}{L}} dx
\]
- 周期 \(L\) を無限大に近づける：
- \(\Delta \xi = \frac{\pi}{L}\) とおくと、\(n\Delta \xi = \frac{n\pi}{L}\)
- \(L \to \infty\) のとき \(\Delta \xi \to 0\) となり、離散的な和が積分に
-
\(n\Delta \xi \to \xi\) となり、離散的な周波数が連続的な周波数に
-
極限への移行：
\[
\begin{aligned}
f(x) &\sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{n\pi x}{L}} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2L} \left(\int_{-L}^{L} f(x) e^{-i\frac{n\pi x}{L}} dx\right) e^{i\frac{n\pi x}{L}} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\Delta \xi}{2\pi} \left(\int_{-L}^{L} f(x) e^{-i\xi x} dx\right) e^{i\xi x} \\
&\to \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\xi x} dx\right) e^{i\xi x} d\xi
\end{aligned}
\]
- 最終的に：
\[
f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{i\xi x} d\xi
\]
ここで \(\hat{f}(\xi)\) はフーリエ変換：
\[
\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\xi x} dx
\]
2. フーリエ変換の定義と性質
2.1 フーリエ変換の定義
\[
\mathcal{F}[f](\xi)=
\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\xi x} dx
\]
2.2 逆フーリエ変換
\[
\mathcal{F}^{-1}[\hat{f}](x) =
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{i\xi x} d\xi
\]
意味：
- 周波数成分 \(\hat{f}(\xi)\) から元の関数 \(f(x)\) を再構築
- フーリエ変換と逆フーリエ変換は互いに逆変換の関係
2.3 基本的な性質
- 線形性：
\[
\mathcal{F}[af(x) + bg(x)] = a\mathcal{F}[f(x)] + b\mathcal{F}[g(x)]
\]
- 平行移動：
\[
\mathcal{F}[f(x-a)] = e^{-i\xi a} \hat{f}(\xi)
\]
- スケーリング：
\[
\mathcal{F}[f(ax)] = \frac{1}{|a|} \hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)
\]
導出：
- \(a > 0\) の場合：
$$
\mathcal{F}[f(ax)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(ax) e^{-i\xi x} dx
$$
変数変換 \(y = ax\) を行うと：
$$
= \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-i\frac{\xi}{a}y} dy = \frac{1}{a} \hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)
$$
$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}[f(ax)] &= \int_{-\infty}^{\infty} f(ax) e^{-i\xi x} dx \
&= \int_{+\infty}^{-\infty} f(y) e^{-i\frac{\xi}{a}y} \frac{1}{a} dy \
&= -\frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-i\frac{\xi}{a}y} dy \
&= \frac{1}{|a|} \hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)
\end{aligned}
$$
ここで、積分の上下限が逆転し、\(a\) が負の値であるため、最終的に \(\frac{1}{|a|}\) となる。
3. 具体的な関数のフーリエ変換
3.1 指数関数
\[
f(x) = e^{-a|x|} \quad (a > 0)
\]
のフーリエ変換：
計算過程：
\[
\begin{aligned}
\hat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|} e^{-i\xi x} dx \\
&= \int_{-\infty}^{0} e^{ax} e^{-i\xi x} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-ax} e^{-i\xi x} dx \\
&= \int_{-\infty}^{0} e^{(a-i\xi)x} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-(a+i\xi)x} dx \\
&= \left[\frac{1}{a-i\xi} e^{(a-i\xi)x}\right]_{-\infty}^{0} + \left[\frac{-1}{a+i\xi} e^{-(a+i\xi)x}\right]_{0}^{\infty} \\
&= \frac{1}{a-i\xi} + \frac{1}{a+i\xi} \\
&= \frac{2a}{a^2 + \xi^2}
\end{aligned}
\]
別の計算過程（オイラーの公式を使用）：
オイラーの公式 \(e^{-i\xi x} = \cos(\xi x) - i\sin(\xi x)\) を用いて計算することもできます：
\[
\begin{aligned}
\hat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|} e^{-i\xi x} dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|} \cos(\xi x) dx - i \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|} \sin(\xi x) dx
\end{aligned}
\]
ここで、\(e^{-a|x|}\) は偶関数、\(\cos(\xi x)\) は偶関数、\(\sin(\xi x)\) は奇関数であることを利用すると：
\[
\begin{aligned}
\hat{f}(\xi) &= 2\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \cos(\xi x) dx - i \cdot 0 \\
&= 2\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \cos(\xi x) dx
\end{aligned}
\]
この積分は部分積分を2回行うことで計算できます：
\[
\begin{aligned}
\int e^{-ax} \cos(\xi x) dx &= \frac{1}{a} e^{-ax} \cos(\xi x) + \frac{\xi}{a} \int e^{-ax} \sin(\xi x) dx \\
&= \frac{1}{a} e^{-ax} \cos(\xi x) + \frac{\xi}{a} \left(-\frac{1}{a} e^{-ax} \sin(\xi x) + \frac{\xi}{a} \int e^{-ax} \cos(\xi x) dx\right)
\end{aligned}
\]
これを整理すると：
\[
\left(1 + \frac{\xi^2}{a^2}\right) \int e^{-ax} \cos(\xi x) dx = \frac{1}{a} e^{-ax} \cos(\xi x) - \frac{\xi}{a^2} e^{-ax} \sin(\xi x)
\]
したがって：
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \cos(\xi x) dx = \frac{a}{a^2 + \xi^2}
\]
よって：
\[
\hat{f}(\xi) = 2 \cdot \frac{a}{a^2 + \xi^2} = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}
\]
このように、オイラーの公式を用いてsinとcosに分けて計算しても、同じ結果が得られます。
3.2 矩形関数
\[
f(x) = \begin{cases} 1 & (|x| \leq a) \\ 0 & (|x| > a) \end{cases}
\]
のフーリエ変換：
計算過程：
\[
\begin{aligned}
\hat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\xi x} dx \\
&= \int_{-a}^{a} e^{-i\xi x} dx \\
&= \left[\frac{-1}{i\xi} e^{-i\xi x}\right]_{-a}^{a} \\
&= \frac{-1}{i\xi} (e^{-i\xi a} - e^{i\xi a}) \\
&= \frac{2\sin(a\xi)}{\xi}
\end{aligned}
\]
別の計算過程（オイラーの公式を使用）：
オイラーの公式 \(e^{-i\xi x} = \cos(\xi x) - i\sin(\xi x)\) を用いて計算することもできます：
\[
\begin{aligned}
\hat{f}(\xi) &= \int_{-a}^{a} e^{-i\xi x} dx \\
&= \int_{-a}^{a} \cos(\xi x) dx - i \int_{-a}^{a} \sin(\xi x) dx
\end{aligned}
\]
ここで、\(\cos(\xi x)\) は偶関数、\(\sin(\xi x)\) は奇関数であることを利用すると：
\[
\begin{aligned}
\hat{f}(\xi) &= 2\int_{0}^{a} \cos(\xi x) dx - i \cdot 0 \\
&= 2\left[\frac{1}{\xi} \sin(\xi x)\right]_{0}^{a} \\
&= \frac{2}{\xi} \sin(a\xi)
\end{aligned}
\]
このように、オイラーの公式を用いてsinとcosに分けて計算しても、同じ結果が得られます。
3.3 ガウス関数
\[
f(x) = e^{-ax^2} \quad (a > 0)
\]
のフーリエ変換：
計算過程：
\[
\begin{aligned}
\hat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{-i\xi x} dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x^2 + \frac{i\xi}{a}x)} dx \\
&= e^{-\frac{\xi^2}{4a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x + \frac{i\xi}{2a})^2} dx \\
&= e^{-\frac{\xi^2}{4a}} \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{aligned}
\]
補足説明：
最後の積分 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x + \frac{i\xi}{2a})^2} dx\) が \(\sqrt{\frac{\pi}{a}}\) となる理由について説明します。
- 複素平面での積分経路を考える：
- 実軸上の積分 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\) は既知
-
複素平面で \(x\) を \(x + \frac{i\xi}{2a}\) に平行移動した積分を考える
-
コーシーの積分定理の適用：
- 被積分関数 \(e^{-az^2}\) は複素平面全体で正則
-
実軸から虚軸方向に \(\frac{i\xi}{2a}\) だけ平行移動した経路での積分値は同じ
-
積分経路の評価：
- 実軸から虚軸方向への平行移動による積分値の変化は0
- 無限遠での寄与も0になる
- したがって、積分値は \(\sqrt{\frac{\pi}{a}}\) のまま
このように、複素数が絡んでも積分値が変わらないのは、複素解析の重要な性質によるものです。
別の計算過程（オイラーの公式と微分方程式を使用）：
オイラーの公式 \(e^{-i\xi x} = \cos(\xi x) - i\sin(\xi x)\) を用いて計算することもできます：
\[
\begin{aligned}
\hat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{-i\xi x} dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \cos(\xi x) dx - i \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \sin(\xi x) dx
\end{aligned}
\]
ここで、\(e^{-ax^2}\) は偶関数、\(\cos(\xi x)\) は偶関数、\(\sin(\xi x)\) は奇関数であることを利用すると：
\[
\begin{aligned}
\hat{f}(\xi) &= 2\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} \cos(\xi x) dx - i \cdot 0 \\
&= 2\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} \cos(\xi x) dx
\end{aligned}
\]
この積分を \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} \cos(\xi x) dx\) とおいて、\(I\) が満たすべき微分方程式を導きます。\(I\) を \(\xi\) で微分すると：
\[
\frac{dI}{d\xi} = -\int_{0}^{\infty} x e^{-ax^2} \sin(\xi x) dx
\]
部分積分を行うと：
\[
\frac{dI}{d\xi} = -\frac{\xi}{2a} I
\]
この微分方程式を解くと：
\[
I = C e^{-\frac{\xi^2}{4a}}
\]
ここで、\(C\) は定数で、\(\xi = 0\) のときの積分値から：
\[
C = \int_{0}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\]
したがって：
\[
I = \frac{1}{2} e^{-\frac{\xi^2}{4a}} \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\]
よって：
\[
\hat{f}(\xi) = 2I = e^{-\frac{\xi^2}{4a}} \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\]
このように、オイラーの公式から始めて微分方程式を解く方法でも、同じ結果が得られます。
4. フーリエ変換の収束性と応用
4.1 収束性の条件
- 絶対可積分性：\(\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx < \infty\)
- \(L^2\) 空間：\(\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx < \infty\)
4.2 リーマン・ルベーグの補題
- 絶対可積分関数のフーリエ変換は \(\xi \to \infty\) で 0 に収束
- 高周波成分は急速に減衰
4.3 応用例
- 微分方程式の解法
- 微分方程式をフーリエ変換すると代数方程式に
-
熱方程式、波動方程式の解法に応用
-
畳み込み積分
\[
\mathcal{F}[f * g] = \hat{f}(\xi) \cdot \hat{g}(\xi)
\]
5. 重要ポイントのまとめ
- フーリエ変換は、関数を周波数成分に分解する強力なツール
- 基本的な性質（線形性、平行移動、スケーリング）を理解することが重要
- 具体的な関数のフーリエ変換を計算できるようになる
- 収束性の条件と応用について理解を深める