第11回 ラプラス変換の基礎 解答例
基本問題
問題1
以下の関数のラプラス変換を導出せよ：
- \(f(t) = e^{at}\)（\(a\)は定数）
解答: $$ \begin{align} \mathcal{L}[e^{at}] &= \int_0^\infty e^{at} e^{-st} dt \ &= \int_0^\infty e^{-(s-a)t} dt \ &= \left[ -\frac{1}{s-a} e^{-(s-a)t} \right]_0^\infty \ &= \frac{1}{s-a} \quad (\text{Re}(s) > a) \end{align} $$
- \(f(t) = \sin \omega t\)（\(\omega\)は定数）
解答: オイラーの公式 \(e^{i\omega t} = \cos \omega t + i \sin \omega t\) を用いて、 $$ \begin{align} \mathcal{L}[\sin \omega t] &= \mathcal{L}\left[\frac{e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}}{2i}\right] \ &= \frac{1}{2i} \left( \frac{1}{s-i\omega} - \frac{1}{s+i\omega} \right) \ &= \frac{1}{2i} \cdot \frac{(s+i\omega) - (s-i\omega)}{s^2 + \omega^2} \ &= \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \quad (\text{Re}(s) > 0) \end{align} $$
- \(f(t) = t^n\)（\(n\)は非負整数）
解答: 部分積分を用いて、 $$ \begin{align} \mathcal{L}[t^n] &= \int_0^\infty t^n e^{-st} dt \ &= \left[ -\frac{t^n}{s} e^{-st} \right]_0^\infty + \frac{n}{s} \int_0^\infty t^{n-1} e^{-st} dt \ &= \frac{n}{s} \mathcal{L}[t^{n-1}] \end{align} $$
これを繰り返し用いて、 $$ \mathcal{L}[t^n] = \frac{n!}{s^{n+1}} \quad (\text{Re}(s) > 0) $$
問題2
ラプラス変換の微分の性質を導出せよ。
解答: $$ \begin{align} \mathcal{L}[f'(t)] &= \int_0^\infty f'(t) e^{-st} dt \ &= \left[ f(t) e^{-st} \right]_0^\infty + s \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt \ &= -f(0) + sF(s) \ &= sF(s) - f(0) \end{align} $$
ただし、\(f(t)\) が指数関数的増大条件を満たすため、\(t \to \infty\) で \(f(t)e^{-st} \to 0\) となる。
問題3
以下の関数のラプラス変換の収束領域を求めよ：
- \(f(t) = e^{3t}\)
解答: $$ \mathcal{L}[e^{3t}] = \frac{1}{s-3} \quad (\text{Re}(s) > 3) $$
- \(f(t) = t^2 e^{-t}\)
解答: $$ \mathcal{L}[t^2 e^{-t}] = \frac{2}{(s+1)^3} \quad (\text{Re}(s) > -1) $$
- \(f(t) = e^{t^2}\)
解答: \(t \to \infty\) で \(e^{t^2}\) は任意の指数関数 \(e^{st}\) より速く発散するため、ラプラス変換は存在しない。
標準問題
問題4
単位ステップ関数を用いて、以下の関数のラプラス変換を求めよ：
- \(f(t) = \begin{cases} 0 & (t < 1) \\ t-1 & (t \geq 1) \end{cases}\)
解答: \(f(t) = (t-1)u(t-1)\) と表せる。単位ステップ関数の性質より、 $$ \begin{align} \mathcal{L}[f(t)] &= \mathcal{L}[(t-1)u(t-1)] \ &= e^{-s} \mathcal{L}[t] \ &= \frac{e^{-s}}{s^2} \end{align} $$
- \(f(t) = \begin{cases} \sin t & (0 \leq t < \pi) \\ 0 & (t \geq \pi) \end{cases}\)
解答: \(f(t) = \sin t \cdot (1 - u(t-\pi))\) と表せる。したがって、 $$ \begin{align} \mathcal{L}[f(t)] &= \mathcal{L}[\sin t] - \mathcal{L}[\sin t \cdot u(t-\pi)] \ &= \frac{1}{s^2 + 1} - e^{-\pi s} \mathcal{L}[\sin(t+\pi)] \ &= \frac{1}{s^2 + 1} - e^{-\pi s} \mathcal{L}[-\sin t] \ &= \frac{1 + e^{-\pi s}}{s^2 + 1} \end{align} $$
問題5
ラプラス変換の微分の性質を用いて、以下の微分方程式の解を求めよ：
- \(y'' + 4y = 0\), \(y(0) = 1\), \(y'(0) = 0\)
解答: 両辺のラプラス変換をとると、 $$ s^2Y(s) - s y(0) - y'(0) + 4Y(s) = 0 $$
初期条件を代入して、 $$ (s^2 + 4)Y(s) = s $$
したがって、 $$ Y(s) = \frac{s}{s^2 + 4} $$
逆ラプラス変換して、 $$ y(t) = \cos 2t $$
- \(y' + 2y = e^{-t}\), \(y(0) = 0\)
解答: 両辺のラプラス変換をとると、 $$ sY(s) - y(0) + 2Y(s) = \frac{1}{s+1} $$
初期条件を代入して、 $$ (s+2)Y(s) = \frac{1}{s+1} $$
したがって、 $$ Y(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2} $$
逆ラプラス変換して、 $$ y(t) = e^{-t} - e^{-2t} $$