第10回 熱伝導方程式と変数分離法 問題
基本問題
問題1
次の常微分方程式を解け： $$ \frac{dy}{dx} + ky = 0 $$ ただし、\(k\)は定数とする。
問題2
次の常微分方程式を解け： $$ \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda y = 0 $$ ただし、\(\lambda\)は定数とする。
問題3
1次元の熱伝導方程式 $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \quad (0 < x < L, t > 0) $$ について、以下の初期条件・境界条件を満たす解を求めよ：
- 境界条件：\(u(0,t) = u(L,t) = 0\)
- 初期条件：\(u(x,0) = \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\)
標準問題
問題4
問題3の熱伝導方程式について、以下の初期条件の場合の解を求めよ： - 境界条件：\(u(0,t) = u(L,t) = 0\) - 初期条件：\(u(x,0) = 2\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) + 3\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\)
問題5
問題3の熱伝導方程式について、以下の初期条件の場合の解を求めよ： - 境界条件：\(u(0,t) = u(L,t) = 0\) - 初期条件：\(u(x,0) = \begin{cases} 1 & (0 \leq x \leq L/2) \\ 0 & (L/2 < x \leq L) \end{cases}\)
発展問題
問題6
問題3の熱伝導方程式について、以下の境界条件の場合の解を求めよ： - 境界条件：\(\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = \frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = 0\) - 初期条件：\(u(x,0) = \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)\)
ヒント
- 問題1,2は変数分離法の基礎となる常微分方程式です
- 問題3では、解を\(u(x,t) = X(x)T(t)\)の形で仮定します
- 問題4では、線形性を利用します
- 問題5では、フーリエ正弦級数展開を利用します
- 問題6では、境界条件が異なるため、解の形も変わります