フーリエ級数の収束条件とパーセバルの定理 問題集

基本問題

問題1

区間 \([-\pi, \pi)\) で定義された関数 \(f(x) = x^2\) のフーリエ級数展開を考える。

1. フーリエ係数 \(a_0\), \(a_n\), \(b_n\) を求めよ。
2. パーセバルの定理を用いて、以下の等式が成り立つことを示せ： $$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^4 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) $$

問題2

区間 \([-\pi, \pi)\) で定義された関数 \(f(x)\) のフーリエ級数展開を考える。このとき、以下の問いに答えよ：

1. パーセバルの定理の内容を述べよ。
2. この定理が成り立つための条件は何か。
3. この定理の数学的な意味を説明せよ。

標準問題

問題3

区間 \([-\pi, \pi)\) で定義された連続関数 \(f(x)\) を考える。このとき、以下の問いに答えよ：

1. ワイヤストラスの近似定理の内容を述べよ。
2. この定理がフーリエ級数にどのように適用されるか説明せよ。
3. この定理から、連続関数のフーリエ級数が一様収束する可能性があることを説明せよ。

問題4

区間 \([-\pi, \pi)\) で定義された関数 \(f(x)\) のフーリエ級数展開を考える。このとき、以下の問いに答えよ：

1. フーリエ級数の収束にはどのような種類があるか、それぞれ説明せよ。
2. 連続関数と不連続関数で、収束性にどのような違いがあるか説明せよ。
3. パーセバルの定理と収束性の関係を説明せよ。

発展問題

問題5

区間 \([-\pi, \pi)\) で定義された関数 \(f(x)\) のフーリエ級数展開を考える。このとき、以下の問いに答えよ：

1. 部分和 \(S_N(x)\) と元の関数 \(f(x)\) の二乗誤差が、残りのフーリエ係数の二乗和で評価できることを示せ。
2. この評価から、フーリエ級数の収束性についてどのようなことが言えるか説明せよ。
3. この結果が、信号処理などの応用分野でどのように活用されるか考察せよ。