第6回 拡張フーリエ級数 解答例

基本問題

問題1

区間 $[0,2\pi )$ で定義された関数 $f(x)=x$ のフーリエ級数展開を求めよ。

解答

区間 $[0,2\pi )$ でのフーリエ係数は以下のように計算される：

$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }xdx=\frac{1}{\pi }{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^{2\pi }=2\pi$$

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x\cos nxdx=0(n\ge 1)$$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x\sin nxdx=-\frac{2}{n}(n\ge 1)$$

したがって、フーリエ級数展開は：

$$f(x)=\pi -2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin nx}{n}$$

問題2

区間 $[0,1)$ で定義された関数 $f(x)=x$ のフーリエ級数展開を求めよ。

解答

区間 $[0,1)$ でのフーリエ係数は以下のように計算される：

$$a_0=2{\int }_0^{1}xdx=1$$

$$a_n=2{\int }_0^{1}x\cos (2\pi nx)dx=0(n\ge 1)$$

$$b_n=2{\int }_0^{1}x\sin (2\pi nx)dx=-\frac{1}{\pi n}(n\ge 1)$$

したがって、フーリエ級数展開は：

$$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2\pi nx)}{n}$$

標準問題

問題3

区間 $[-\pi ,\pi )$ で定義された関数 $f(x)=x^2$ の複素フーリエ級数展開を求めよ。

解答

複素フーリエ係数は：

$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^2{e}^{-inx}dx$$

$n=0$ のとき：

$$c_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}dx=\frac{{\pi }^2}{3}$$

$n\ne 0$ のとき、部分積分を2回行うと：

$$c_n=\frac{(-1{)}^{n}2}{n^2}$$

したがって、複素フーリエ級数展開は：

$$f(x)=\frac{{\pi }^2}{3}+2\sum _{n=-\mathrm{\infty },n\ne 0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2}{e}^{inx}$$

問題4

区間 $[-L,L)$ で定義された関数 $f(x)=x^2$ のフーリエ級数展開を求めよ。

解答

区間 $[-L,L)$ でのフーリエ係数は：

$$a_0=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^L{x}^{2}dx=\frac{2L^2}{3}$$

$$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^L{x}^2\cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=\frac{4L^2(-1{)}^n}{{\pi }^2{n}^2}$$

$$b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^L{x}^2\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=0$$

したがって、フーリエ級数展開は：

$$f(x)=\frac{L^2}{3}+\frac{4L^2}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

発展問題

問題5

区間 $[0,2\pi )$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ の複素フーリエ級数展開を求めよ。

解答

複素フーリエ係数は：

$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^x{e}^{-inx}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{(1-in)x}dx$$

$n\ne -i$ のとき：

$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\left[\frac{e^{(1-in)x}}{1-in}\right]}_0^{2\pi }=\frac{e^{2\pi }-1}{2\pi (1-in)}$$

したがって、複素フーリエ級数展開は：

$$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{2\pi }-1}{2\pi (1-in)}{e}^{inx}$$

問題6

区間 $[0,2\pi )$ で定義された関数 $f(x)=\sin x$ の複素フーリエ級数展開を求め、実フーリエ級数との関係を確認せよ。

解答

複素フーリエ係数は：

$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\sin x{e}^{-inx}dx$$

オイラーの公式を用いると：

$$c_n=\frac{1}{4\pi i}{\int }_0^{2\pi }(e^{ix}-e^{-ix})e^{-inx}dx$$

$n=\pm 1$ のとき：

$$c_1=-\frac{i}{2},c_{-1}=\frac{i}{2}$$

その他の $n$ では $c_n=0$

したがって、複素フーリエ級数展開は：

$$f(x)=-\frac{i}{2}{e}^{ix}+\frac{i}{2}{e}^{-ix}$$

これは実フーリエ級数 $\sin x$ と一致する。

問題7

区間 $[0,2\pi )$ で定義された関数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le x<\pi )\\ -1& (\pi \le x<2\pi )\end{array}$$

の複素フーリエ級数展開を求めよ。

解答

複素フーリエ係数は：

$$c_n=\frac{1}{2\pi }({\int }_0^{\pi }{e}^{-inx}dx-{\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{-inx}dx)$$

$n=0$ のとき：

$$c_0=0$$

$n\ne 0$ のとき：

$$c_n=\frac{1-(-1{)}^n}{i\pi n}$$

したがって、複素フーリエ級数展開は：

$$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty },n\ne 0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-(-1{)}^n}{i\pi n}{e}^{inx}$$