第6回 拡張フーリエ級数 解答例
基本問題
問題1
区間 \([0, 2\pi)\) で定義された関数 \(f(x) = x\) のフーリエ級数展開を求めよ。
解答
区間 \([0, 2\pi)\) でのフーリエ係数は以下のように計算される：
\[
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{2\pi} = 2\pi
\]
\[
a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x \cos nx dx = 0 \quad (n \geq 1)
\]
\[
b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x \sin nx dx = -\frac{2}{n} \quad (n \geq 1)
\]
したがって、フーリエ級数展開は：
\[
f(x) = \pi - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}
\]
問題2
区間 \([0, 1)\) で定義された関数 \(f(x) = x\) のフーリエ級数展開を求めよ。
解答
区間 \([0, 1)\) でのフーリエ係数は以下のように計算される：
\[
a_0 = 2 \int_0^1 x dx = 1
\]
\[
a_n = 2 \int_0^1 x \cos(2\pi nx) dx = 0 \quad (n \geq 1)
\]
\[
b_n = 2 \int_0^1 x \sin(2\pi nx) dx = -\frac{1}{\pi n} \quad (n \geq 1)
\]
したがって、フーリエ級数展開は：
\[
f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2\pi nx)}{n}
\]
標準問題
問題3
区間 \([-\pi, \pi)\) で定義された関数 \(f(x) = x^2\) の複素フーリエ級数展開を求めよ。
解答
複素フーリエ係数は：
\[
c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 e^{-inx} dx
\]
\(n = 0\) のとき：
\[
c_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = \frac{\pi^2}{3}
\]
\(n \neq 0\) のとき、部分積分を2回行うと：
\[
c_n = \frac{(-1)^n 2}{n^2}
\]
したがって、複素フーリエ級数展開は：
\[
f(x) = \frac{\pi^2}{3} + 2 \sum_{n=-\infty, n \neq 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} e^{inx}
\]
問題4
区間 \([-L, L)\) で定義された関数 \(f(x) = x^2\) のフーリエ級数展開を求めよ。
解答
区間 \([-L, L)\) でのフーリエ係数は：
\[
a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^L x^2 dx = \frac{2L^2}{3}
\]
\[
a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L x^2 \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = \frac{4L^2(-1)^n}{\pi^2 n^2}
\]
\[
b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L x^2 \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = 0
\]
したがって、フーリエ級数展開は：
\[
f(x) = \frac{L^2}{3} + \frac{4L^2}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
\]
発展問題
問題5
区間 \([0, 2\pi)\) で定義された関数 \(f(x) = e^{x}\) の複素フーリエ級数展開を求めよ。
解答
複素フーリエ係数は：
\[
c_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^x e^{-inx} dx = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{(1-in)x} dx
\]
\(n \neq -i\) のとき：
\[
c_n = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{(1-in)x}}{1-in} \right]_0^{2\pi} = \frac{e^{2\pi} - 1}{2\pi(1-in)}
\]
したがって、複素フーリエ級数展開は：
\[
f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{e^{2\pi} - 1}{2\pi(1-in)} e^{inx}
\]
問題6
区間 \([0, 2\pi)\) で定義された関数 \(f(x) = \sin x\) の複素フーリエ級数展開を求め、実フーリエ級数との関係を確認せよ。
解答
複素フーリエ係数は：
\[
c_n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sin x e^{-inx} dx
\]
オイラーの公式を用いると：
\[
c_n = \frac{1}{4\pi i} \int_0^{2\pi} (e^{ix} - e^{-ix}) e^{-inx} dx
\]
\(n = \pm 1\) のとき：
\[
c_1 = -\frac{i}{2}, \quad c_{-1} = \frac{i}{2}
\]
その他の \(n\) では \(c_n = 0\)
したがって、複素フーリエ級数展開は：
\[
f(x) = -\frac{i}{2} e^{ix} + \frac{i}{2} e^{-ix}
\]
これは実フーリエ級数 \(\sin x\) と一致する。
問題7
区間 \([0, 2\pi)\) で定義された関数
\[f(x) = \begin{cases}
1 & (0 \leq x < \pi) \\
-1 & (\pi \leq x < 2\pi)
\end{cases}\]
の複素フーリエ級数展開を求めよ。
解答
複素フーリエ係数は：
\[
c_n = \frac{1}{2\pi} \left( \int_0^{\pi} e^{-inx} dx - \int_{\pi}^{2\pi} e^{-inx} dx \right)
\]
\(n = 0\) のとき：
\[
c_0 = 0
\]
\(n \neq 0\) のとき：
\[
c_n = \frac{1 - (-1)^n}{i\pi n}
\]
したがって、複素フーリエ級数展開は：
\[
f(x) = \sum_{n=-\infty, n \neq 0}^{\infty} \frac{1 - (-1)^n}{i\pi n} e^{inx}
\]