フーリエ級数展開（具体的な関数のフーリエ係数計算、三角関数展開）解答例

基本問題

問題1

関数 $f(x) = x^3$ が奇関数であることを示し、この関数のフーリエ級数展開における係数 $a_n$ の値を求めよ。

解答: 1. 奇関数の確認：

$$ f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) $$

よって、$f(x)$ は奇関数である。

係数 $a_n$ の計算： $f(x)$ は奇関数、$\cos nx$ は偶関数であるから、$f(x)\cos nx$ は奇関数である。したがって、

$$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^3 \cos nx \, dx = 0 \quad (n = 0, 1, 2, \ldots) $$

思考プロセス: 1. まず関数の偶奇性を確認 2. 偶関数と奇関数の積の性質を利用 3. 奇関数の積分の性質を適用

関連する定義/定理: - 奇関数の定義 - 偶関数と奇関数の積の性質 - 奇関数の積分の性質

問題2

関数 $f(x) = \cos^2 x$ が偶関数であることを示し、この関数のフーリエ級数展開における係数 $b_n$ の値を求めよ。

解答: 1. 偶関数の確認：

$$ f(-x) = \cos^2(-x) = (\cos x)^2 = \cos^2 x = f(x) $$

よって、$f(x)$ は偶関数である。

係数 $b_n$ の計算： $f(x)$ は偶関数、$\sin nx$ は奇関数であるから、$f(x)\sin nx$ は奇関数である。したがって、

$$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x \sin nx \, dx = 0 \quad (n = 1, 2, \ldots) $$

思考プロセス: 1. まず関数の偶奇性を確認 2. 偶関数と奇関数の積の性質を利用 3. 奇関数の積分の性質を適用

関連する定義/定理: - 偶関数の定義 - 偶関数と奇関数の積の性質 - 奇関数の積分の性質

問題3

区間 $[-\pi, \pi)$ で定義された関数 $f(x) = |x|$ について、以下の問いに答えよ： 1. この関数が偶関数であることを示せ 2. フーリエ級数展開の係数 $b_n$ の値を求めよ 3. 係数 $a_0$ の値を求めよ

解答: 1. 偶関数の確認：

$$ f(-x) = |-x| = |x| = f(x) $$

よって、$f(x)$ は偶関数である。

係数 $b_n$ の計算： $f(x)$ は偶関数、$\sin nx$ は奇関数であるから、$f(x)\sin nx$ は奇関数である。したがって、

$$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \sin nx \, dx = 0 \quad (n = 1, 2, \ldots) $$

係数 $a_0$ の計算： $f(x)$ は偶関数であるから、

$$ \begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \, dx \ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \, dx \quad \text{（偶関数の性質を利用）} \ &= \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\pi} \ &= \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{2} \ &= \pi \end{aligned} $$

思考プロセス: 1. まず関数の偶奇性を確認 2. 偶関数と奇関数の積の性質を利用して $b_n$ を求める 3. 偶関数の積分の性質を利用して $a_0$ を計算

関連する定義/定理: - 偶関数の定義 - 偶関数と奇関数の積の性質 - 偶関数の積分の性質

標準問題

問題4

区間 $[-\pi, \pi)$ で定義された関数 $f(x) = x^2 \sin x$ について、以下の問いに答えよ： 1. この関数の偶奇性を調べよ 2. フーリエ級数展開の係数 $a_0$ の値を求めよ 3. 係数 $a_1$ の値を求めよ

解答: 1. 偶奇性の確認：

$$ f(-x) = (-x)^2 \sin(-x) = x^2 (-\sin x) = -x^2 \sin x = -f(x) $$

よって、$f(x)$ は奇関数である。

係数 $a_0$ の計算： $f(x)$ は奇関数であるから、

$$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x \, dx = 0 $$

係数 $a_1$ の計算： $f(x)\cos x$ は奇関数（奇関数×偶関数）であるから、

$$ a_1 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x \cos x \, dx = 0 $$

思考プロセス: 1. まず関数の偶奇性を確認 2. 奇関数の積分の性質を利用して $a_0$ を求める 3. 偶関数と奇関数の積の性質を利用して $a_1$ を求める

関連する定義/定理: - 奇関数の定義 - 偶関数と奇関数の積の性質 - 奇関数の積分の性質

問題5

区間 $[-\pi, \pi)$ で定義された関数 $f(x) = x \cos x$ について、以下の問いに答えよ：

この関数の偶奇性を調べよ
フーリエ級数展開の係数 $b_1$ の値を求めよ
係数 $b_2$ の値を求めよ

解答: 1. 偶奇性の確認：

$$ f(-x) = (-x) \cos(-x) = -x \cos x = -f(x) $$

よって、$f(x)$ は奇関数である。

係数 $b_1$ の計算： $f(x)\sin x$ は偶関数（奇関数×奇関数）であるから、

\[ \begin{aligned} b_1 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos x \sin x \, dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos x \sin x \, dx \quad \text{（偶関数の性質を利用）} \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cdot \frac{\sin 2x}{2} \, dx \quad \text{（倍角の公式）} \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin 2x \, dx \\ &= \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{x \cos 2x}{2} \right]_0^{\pi} + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 2x}{2} \, dx \\ &= \frac{1}{\pi} \left( -\frac{\pi \cos 2\pi}{2} + 0 \right) + \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi} \\ &= -\frac{1}{2} + 0 \\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned} \]

係数 $b_2$ の計算： $f(x)\sin 2x$ は偶関数（奇関数×奇関数）であるから、

\[ \begin{aligned} b_2 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos x \sin 2x \, dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos x \sin 2x \, dx \quad \text{（偶関数の性質より）} \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos x \cdot 2\sin x \cos x \, dx \quad \text{（倍角の公式：$\sin2x = 2\sin x\cos x$）} \\ &= \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin x \cos^2 x \, dx \\ &= \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin x (1-\sin^2 x) \, dx \\ &= \frac{4}{\pi} \left[\int_{0}^{\pi} x \sin x\,dx - \int_{0}^{\pi} x \sin^3 x\,dx\right]. \end{aligned} \]

ここで、

\[ \int_{0}^{\pi} x \sin x\,dx = \pi,\quad \int_{0}^{\pi} x \sin^3 x\,dx = \frac{2\pi}{3}, \]

であるから、 $$ b_2 = \frac{4}{\pi} \left(\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{4}{3}. $$

思考プロセス: 1. まず関数の偶奇性を確認 2. 偶関数と奇関数の積の性質を利用 3. 三角関数の公式を活用して積分を計算

関連する定義/定理: - 奇関数の定義 - 偶関数と奇関数の積の性質 - 三角関数の倍角公式

発展問題

問題6

区間 $[-\pi, \pi)$ で定義された関数 $f(x) = x^2 \cos x$ について、以下の問いに答えよ： 1. この関数の偶奇性を調べよ 2. フーリエ級数展開の係数 $a_0$ の値を求めよ 3. 係数 $a_1$ の値を求めよ 4. 得られた結果を用いて、以下の無限級数の和を求めよ：

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} $$

解答: 1. 偶奇性の確認：

$$ f(-x) = (-x)^2 \cos(-x) = x^2 \cos x = f(x) $$

よって、$f(x)$ は偶関数である。

係数 $a_0$ の計算： $f(x)$ は偶関数であるから、

\[ \begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos x \, dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos x \, dx \quad \text{（偶関数の性質を利用）} \\ &= \frac{2}{\pi} \left( \left[ x^2 \sin x \right]_0^{\pi} - 2 \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx \right) \\ &= \frac{2}{\pi} \left( 0 - 2 \left( \left[ -x \cos x \right]_0^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos x \, dx \right) \right) \\ &= \frac{2}{\pi} \left( -2 \left( \pi + 0 \right) \right) \\ &= -4 \end{aligned} \]

係数 $a_1$ の計算： $f(x)\cos x$ は偶関数（偶関数×偶関数）であるから、

\[ \begin{aligned} a_1 &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos^2 x \, dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos^2 x \, dx \quad \text{（偶関数の性質を利用）} \\ &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx \quad \text{（倍角の公式）} \\ &= \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx + \int_{0}^{\pi} x^2 \cos 2x \, dx \right) \\ &= \frac{1}{\pi} \left( \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\pi} + \left[ \frac{x^2 \sin 2x}{2} \right]_0^{\pi} - \int_{0}^{\pi} x \sin 2x \, dx \right) \\ &= \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi^3}{3} + 0 - \left( \left[ -\frac{x \cos 2x}{2} \right]_0^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 2x}{2} \, dx \right) \right) \\ &= \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi^3}{3} - \left( -\frac{\pi}{2} + 0 \right) \right) \\ &= \frac{\pi^2}{3} + \frac{1}{2} \end{aligned} \]

無限級数の和の計算：フーリエ級数展開の結果から、$x = \pi$ を代入すると、

$$ \pi^2 = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n\pi $$

ここで、$a_n$ の一般項を計算すると、

$$ a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2} \quad (n \geq 1) $$

したがって、

$$ \pi^2 = -2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2} (-1)^n $$

これを整理すると、

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12} $$

注意: この計算は、$x = \pi$ で関数 $f(x) = x^2 \cos x$ が連続であることを利用しています。フーリエ級数は、関数が連続な点では元の関数の値に収束するという性質（フーリエ級数の収束定理）により、この代入が正当化されます。

思考プロセス: 1. まず関数の偶奇性を確認 2. 偶関数の積分の性質を利用 3. 部分積分を繰り返し適用 4. フーリエ級数の収束性を利用して無限級数の和を求める

関連する定義/定理: - 偶関数の定義 - 偶関数の積分の性質 - 部分積分法 - フーリエ級数の収束定理（特に連続点での収束性）