第12回 ラプラス変換の計算演習 問題集
基本問題
問題1
以下の関数のラプラス逆変換を求めよ：
\[
F(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 5}
\]
\[
F(s) = \frac{s+1}{s^2 + 2s + 2}
\]
\[
F(s) = \frac{1}{s(s^2 + 1)}
\]
問題2
部分分数分解を用いて、以下の関数のラプラス逆変換を求めよ：
\[
F(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)}
\]
\[
F(s) = \frac{s}{(s-1)(s-2)(s-3)}
\]
\[
F(s) = \frac{1}{s^2(s+1)}
\]
標準問題
問題3
以下の微分方程式をラプラス変換を用いて解け：
\[
y'' + 3y' + 2y = 0, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 0
\]
\[
y'' + 4y = \sin t, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 1
\]
ヒント
基本問題のヒント
- 完全平方を作る
- 部分分数分解を利用する
- 分母の因数分解を考える
標準問題のヒント
- 初期条件を考慮してラプラス変換を適用する