第9回 フーリエ変換の性質 問題集
基本問題
問題1
次の2つの関数の畳み込み積分を計算せよ：
\[
f(x) = \begin{cases}
1 & (|x| \leq 1) \\
0 & (|x| > 1)
\end{cases}, \quad
g(x) = \begin{cases}
1 & (|x| \leq 2) \\
0 & (|x| > 2)
\end{cases}
\]
問題2
パーセバルの定理を用いて、次の積分の値を求めよ：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx
\]
標準問題
問題3
次の関数のフーリエ変換を求め、畳み込み定理を利用して以下の積分の値を求めよ：
\[
f(x) = e^{-a|x|} \quad (a > 0)
\]
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(a^2 + x^2)(b^2 + x^2)} dx \quad (a, b > 0)
\]
問題4
次の関数のフーリエ変換を求め、パーセバルの定理を利用して以下の積分の値を求めよ：
\[
f(x) = \frac{\sin ax}{x} \quad (a > 0)
\]
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 ax}{x^2} dx
\]
発展問題
問題5
次の関数のフーリエ変換を求め、畳み込み定理を利用して以下の積分の値を求めよ：
\[
f(x) = e^{-x^2}
\]
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x^2} \cos(2x) dx
\]
問題6
次の関数のフーリエ変換を求め、パーセバルの定理を利用して以下の積分の値を求めよ：
\[
f(x) = \frac{1}{1 + x^2}
\]
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1 + x^2)^2} dx
\]