フーリエ級数展開（具体的な関数のフーリエ係数計算、三角関数展開）問題集

基本問題

問題1

関数 $f(x) = x^3$ が奇関数であることを示し、この関数のフーリエ級数展開における係数 $a_n$ の値を求めよ。

問題2

関数 $f(x) = \cos^2 x$ が偶関数であることを示し、この関数のフーリエ級数展開における係数 $b_n$ の値を求めよ。

問題3

区間 $[-\pi, \pi)$ で定義された関数 $f(x) = |x|$ について、以下の問いに答えよ： 1. この関数が偶関数であることを示せ 2. フーリエ級数展開の係数 $b_n$ の値を求めよ 3. 係数 $a_0$ の値を求めよ

標準問題

問題4

区間 $[-\pi, \pi)$ で定義された関数 $f(x) = x^2 \sin x$ について、以下の問いに答えよ： 1. この関数の偶奇性を調べよ 2. フーリエ級数展開の係数 $a_0$ の値を求めよ 3. 係数 $a_1$ の値を求めよ

問題5

区間 $[-\pi, \pi)$ で定義された関数 $f(x) = x \cos x$ について、以下の問いに答えよ： 1. この関数の偶奇性を調べよ 2. フーリエ級数展開の係数 $b_1$ の値を求めよ 3. 係数 $b_2$ の値を求めよ

発展問題

問題6

区間 $[-\pi, \pi)$ で定義された関数 $f(x) = x^2$ について、以下の問いに答えよ： 1. この関数の偶奇性を調べよ 2. フーリエ級数展開の係数 $a_0$ の値を求めよ 3. 係数 $a_1$ の値を求めよ 4. 得られた結果を用いて、以下の無限級数の和を求めよ： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $$