確率統計学 (Probability and Statistics)

学年

学部2年生（理系）

授業の概要

本講義では、確率論と統計学の基礎的な概念と方法を学びます。確率統計学は数学の中でも実用的な分野であり、様々な分野で活用されています。データの記述方法から確率変数、基本的な確率分布、標本分布、区間推定、基礎的な仮説検定までを扱います。「誤差」「平均」「分散」「相関」「推定」といった基本的な概念を明確に定義し、その意味と使い方を学びます。数学的厳密さよりも直感的な理解と実践的な計算方法の習得に重点を置き、具体例を多く用いて解説します。

到達目標

1. 記述統計の基本手法を理解し、データを適切に要約できる
2. 確率の基本概念と確率変数の性質を理解できる
3. 基本的な確率分布（二項分布、正規分布など）の特徴と応用を説明できる
4. 大数の法則と中心極限定理の基本的な意味を理解できる
5. 標本平均や標本分散の性質を理解し、区間推定ができる
6. 基礎的な仮説検定（平均と分散の検定）を実行できる

授業計画（全体）

第1部：記述統計学の基礎

• 第1回：確率統計学入門（記述統計と推測統計）
  • [x] 統計学の役割と応用分野
  • [x] 記述統計と推測統計の違い
  • [x] データの種類と尺度水準
• 第2回：1次元データの分析（平均、分散、標準偏差）
  • [x] 代表値（平均、中央値、最頻値）
  • [x] 散布度（分散、標準偏差、四分位範囲）
  • [x] データの可視化（ヒストグラム、箱ひげ図）
• 第3回：2次元データの分析（散布図、相関係数、単回帰分析）
  • [x] 散布図と相関関係
  • [x] 相関係数の計算と解釈
  • [x] 単回帰分析の基礎

第2部：確率論の基礎

• 第4回：確率の基本概念（標本空間、事象、確率の定義）
  • [x] 標本空間と事象
  • [x] 確率の公理的定義
  • [x] 確率の基本的性質
• 第5回：条件付き確率と独立性（ベイズの定理の基礎）
  • [x] 条件付き確率の定義
  • [x] 独立性の概念
  • [x] ベイズの定理の導出と応用
• 第6回：確率変数と確率分布の導入
  • [x] 確率変数の定義
  • [x] 離散型と連続型の確率変数
  • [x] 確率分布関数と確率密度関数

第3部：基本的な確率分布

• 第7回：離散型確率分布（二項分布、ポアソン分布）
  • [x] ベルヌーイ試行と二項分布
  • [x] ポアソン分布の導出と性質
  • [x] 離散型分布の応用例
• 第8回：連続型確率分布（正規分布、指数分布、一様分布）
  • [x] 正規分布の性質と標準化
  • [x] 指数分布とポアソン過程
  • [x] 一様分布とその応用
• 第9回：期待値と分散の計算
  • [x] 期待値の定義と性質
  • [x] 分散と標準偏差の計算
  • [x] 共分散と相関係数

第4部：大数の法則と中心極限定理

• 第10回：大数の法則と中心極限定理
  • [x] 大数の法則の直感的理解
  • [x] 中心極限定理の意味と応用
  • [x] 正規近似の考え方
• 第11回：収束の諸概念
  • [x] 確率収束と概収束
  • [x] 分布収束
  • [x] 各種収束の関係と応用

第5部：標本分布と推定

• 第12回：標本分布（標本平均と標本分散）
  • [x] 標本平均の分布
  • [x] 標本分散の分布
  • [ ] t分布とカイ二乗分布
• 第13回：区間推定（分散既知の場合の平均の推定）
  • [x] 点推定と区間推定
  • [x] 信頼区間の構築
  • [x] 信頼係数の解釈
• 第14回：区間推定（分散未知の場合の平均の推定）
  • [ ] t分布を用いた区間推定
  • [x] 標本サイズと信頼区間の幅
  • [ ] 母比率の区間推定
• 第15回：仮説検定の基礎（平均の検定）
  • [ ] 帰無仮説と対立仮説
  • [ ] 検定統計量と棄却域
  • [ ] 第1種の過誤と第2種の過誤