第5章 統計的推定
推定の目的
- 母数を標本から推測
- 代表値をもとに将来を予測
標本の定義
- \(X_1,\ldots,X_n\) を独立同分布と仮定
- 抽出方法に注意
母数と統計量
- 母平均 \(\mu\) や母分散 \(\sigma^2\)
- 標本平均 \(\bar{X}\), 標本分散 \(S^2\)
推定量の性質
- 不偏性: \(\mathbb{E}[\hat{\theta}]=\theta\)
- 一致性: 標本サイズ増大で真の値に近づく
有効性
- 分散が最小の推定量が望ましい
- クラメール・ラオの下界
最尤推定法
- 尤度関数を最大化
\[
\hat{\theta}=\arg\max L(\theta; x_1,\ldots,x_n)
\]
尤度の例
- 正規分布の平均の最尤推定
- 尤度方程式を解く
区間推定の考え
- 点推定の不確実性を区間で表す
分散既知の場合
\[
\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
- 標本平均に基づく区間
分散未知の場合
\[
\bar{X}\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}
\]
- t分布を使用
サンプルサイズの決定
- 区間幅から計算
- 事前の分散推定が必要
仮説検定の流れ
- 帰無仮説を定める
- 検定統計量を計算
- 棄却域と比較
第1種・第2種の過誤
- 第1種: 誤って棄却
- 第2種: 誤って採択
p値の解釈
- 観測結果がどれだけ極端かを示す
t検定の例
\[
T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}
\]
- 自由度 \(n-1\)
信頼区間の応用
- 測定値のばらつきを評価
- 推定精度を議論
ベイズ推定の概要
- 事前分布と事後分布
- MCMCによる計算
最尤法とベイズ法の比較
- 点推定 vs 分布推定
- モデル選択への応用
まとめ
- 推定と検定は統計解析の柱
- Ch5-problems.mdで練習
モーメント法
- モーメントから母数を推定
- 簡便だが最尤より精度が劣ることも
指数分布の最尤推定
\[
\hat{\lambda}=1/\bar{X}
\]
- 期待値の逆数を利用
区間推定の具体例
- 製品重量の平均を推定
- サンプル平均と標準偏差から計算
仮説検定のp値計算
- 両側検定では2倍する
- 小さいほど棄却しやすい
検出力
- 第2種の過誤を1-\(\beta\)で表す
- 標本サイズを増やすと上昇
ベイズ推定の利点
- 先行知識を組み込める
- サンプルが少なくても柔軟
まとめの例題
- 点推定から区間推定へ
- 実際のデータで練習
練習問題リンク
- 詳しくはCh5-problems.md参照
さらなる学習
- 推定と検定を組み合わせた実験計画
- 統計ソフトの利用方法も重要