第3章 期待値と分散
離散型分布の基礎
- 成功失敗のベルヌーイ試行
- 二項分布の確率関数
二項分布の性質
- \(X\sim\text{Bin}(n,p)\)
- 期待値 \(np\), 分散 \(np(1-p)\)
ポアソン分布
- 稀な事象のモデル
- 平均と分散は \(\lambda\)
連続型分布
- 代表的なのは正規分布
- 指数分布や一様分布も重要
正規分布の特徴
- 鐘形の密度関数
- \(N(\mu,\sigma^2)\)
標準正規分布
- 平均0, 分散1
- 累積分布関数を \(\Phi(x)\) と書く
指数分布
- 密度 \(\lambda e^{-\lambda x}\)
- 無記憶性を持つ
一様分布
- 区間 \([a,b]\) で一定の密度
- 期待値 \((a+b)/2\)
期待値の定義
\[
\mathbb{E}[X]=\sum x p(x) \text{ または } \int x f(x) dx
\]
- 重み付き平均の考え方
期待値の線形性
\[
\mathbb{E}[aX+bY]=a\mathbb{E}[X]+b\mathbb{E}[Y]
\]
- 計算を簡単にする性質
分散の定義
\[
\mathbb{V}[X]=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]
\]
- ばらつきの尺度
分散の性質
\[
\mathbb{V}[aX+b]=a^2\mathbb{V}[X]
\]
- 定数項は影響しない
独立な和の分散
\[
\mathbb{V}[X+Y]=\mathbb{V}[X]+\mathbb{V}[Y]
\]
- 共分散が0のときも同じ
共分散
\[
\text{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]
\]
- 散らばりの共通部分を測る
相関係数
\[
\rho=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathbb{V}[X]\mathbb{V}[Y]}}
\]
- -1から1までの尺度
二変量正規分布
- 2つの変数が同時に正規分布
- 相関係数で形が決まる
分布の近似
- 二項分布 \(\approx\) 正規分布 (大数)
- 連続性補正を使用
ポアソン過程
- 単位時間あたり平均 \(\lambda\) の事象
- 到着数はポアソン分布に従う
期待値の計算例
- 標準正規分布の期待値は0
- 分散の計算も示した
モーメント
- \(\mathbb{E}[X^k]\) をk次モーメントと呼ぶ
- 分布の形状を特徴づける
尖度と歪度
- 高次モーメントから計算
- 正規分布では0になる
練習問題リンク
- 詳しくはCh3-problems.md参照
期待値計算例
- サイコロの出目の平均は3.5
- 線形性を利用して求める
分散計算例
- 二項分布 \(\text{Bin}(n,p)\) の分散は \(np(1-p)\)
- 計算過程を確認
共分散計算例
- 同時分布が与えられれば計算可能
- 独立なら0になる
正規近似の図示
- 棒グラフと正規曲線を重ねる
- 近似の精度を視覚化
ポアソン過程の応用
- 電話の着信回数などのモデル
- 到着間隔は指数分布
まとめ
- 期待値と分散は確率分布の中心と広がり
- 詳しくはCh3-problems.mdを参照