第5部：統計的推定 解答

第12回：区間推定（分散既知の場合の平均の推定）

1. 基本的な理解を確認する問題

(1) 信頼区間の意味を説明し、信頼係数との関係を述べよ。

解答： 信頼区間とは、母集団のパラメータ（例：平均値μ）の真の値が含まれると推測される区間です。

解説： 1. 信頼区間の定義： - 母数θの100(1-α)%信頼区間[L, U]は： $$ \mathbb{P}(L \leq \theta \leq U) = 1-\alpha $$ - ここで、LとUは標本に依存する確率変数 - θは固定値（母数）

1. 信頼係数との関係：
2. 信頼係数1-αは、長期的にこの区間が母数を含む確率

3. 例えば、95%信頼区間の場合：

   • α = 0.05
   • 同じ実験を100回繰り返すと、約95回は真の母数を含む区間が得られる

4. 重要なポイント：

5. 信頼区間は確率変数
6. 母数は固定値
7. 信頼係数は「区間が母数を含む確率」

(2) 標本サイズと信頼区間の幅の関係を説明せよ。

解答： 信頼区間の幅は標本サイズの平方根に反比例します。

解説： 1. 信頼区間の幅の式： $$ w = 2z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

1. 標本サイズとの関係：
2. 幅は\(\frac{1}{\sqrt{n}}\)に比例
3. 標本サイズが4倍になると、幅は1/2倍

4. 標本サイズが9倍になると、幅は1/3倍

5. 実践的な意味：

6. より正確な推定には、より大きな標本サイズが必要
7. ただし、標本サイズを増やすにはコストがかかる
8. 必要な精度とコストのバランスを考慮する必要がある

(3) 母分散が既知の場合の平均の区間推定の手順を説明せよ。

解答： 以下の手順で母平均の区間推定を行います：

1. 標本平均の計算： $$ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i $$

2. 信頼区間の計算： $$ \left[\bar{X} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right] $$ ここで：

3. \(z_{\alpha/2}\)：標準正規分布の上側α/2点
4. σ：母標準偏差（既知）

5. n：標本サイズ

6. 結果の解釈：

7. この区間は、真の母平均を含む確率が1-α
8. 区間の幅は推定の精度を示す

2. 計算問題

ある製品の重量が正規分布\(N(\mu, 25)\)に従うとする。16個の製品を測定したところ、平均が498gであった。母平均\(\mu\)の95%信頼区間は \(\text{(a)} \leq \mu \leq \text{(b)}\) である。

解答： (a) = 495.55, (b) = 500.45

解説： 1. 与えられた情報： - 標本平均\(\bar{X} = 498\)g - 母分散\(\sigma^2 = 25\)g²（母標準偏差\(\sigma = 5\)g） - 標本サイズ\(n = 16\) - 信頼係数95%（\(z_{0.025} = 1.96\)）

1. 正規分布を使用する理由：
2. 母集団が正規分布\(N(\mu, 25)\)に従う
3. 標本平均\(\bar{X}\)も正規分布\(N(\mu, \frac{25}{16})\)に従う

4. 母分散が既知（\(\sigma^2 = 25\)）であるため、標準正規分布の分位点\(z_{\alpha/2}\)を使用

5. 信頼区間の計算： $$ \bar{X} \pm z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 498 \pm 1.96\frac{5}{\sqrt{16}} = 498 \pm 2.45 $$

6. したがって、信頼区間は： [498 - 2.45, 498 + 2.45] = [495.55, 500.45]

補足： - この区間は、真の母平均が含まれる確率が95%であることを示します - 区間の幅は約4.9gです - 母分散が既知であるため、t分布ではなく標準正規分布の分位点を使用しています

3. 実践的な問題

ある工場で製造される製品の重量が正規分布\(N(\mu, 16)\)に従うとする。規格値は500g±10gである。以下のデータが得られた：

• 標本サイズ：25個
• 標本平均：495g

解答：

1. 母平均の95%信頼区間： [492.43g, 497.57g]

解説： 1. 与えられた情報： - 標本平均\(\bar{X} = 495\)g - 母分散\(\sigma^2 = 16\)g²（母標準偏差\(\sigma = 4\)g） - 標本サイズ\(n = 25\) - 信頼係数95%（\(z_{0.025} = 1.96\)）

1. 信頼区間の計算： $$ \bar{X} \pm z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 495 \pm 1.96\frac{4}{\sqrt{25}} = 495 \pm 1.568 $$

2. したがって、信頼区間は： [495 - 1.568, 495 + 1.568] = [492.43, 497.57]

3. 信頼区間の幅を半分にするには、標本サイズを4倍にする必要があります。

解説： 1. 現在の標本サイズ：25個 2. 必要な標本サイズ：100個（25 × 4）

1. 規格値（500g±10g）は信頼区間[492.43g, 497.57g]に含まれていません。

解説： 1. 規格値の範囲：490g～510g 2. 信頼区間：492.43g～497.57g 3. 信頼区間は規格値の範囲内に完全に含まれています 4. これは、製品の平均重量が規格を満たしていることを示唆しています

第13回：区間推定（分散未知の場合の平均の推定）

4. 基本的な理解を確認する問題

(1) 分散未知の場合の平均の区間推定の特徴を説明せよ。

解答： 分散未知の場合の平均の区間推定には、以下の特徴があります：

1. t分布の使用：
2. 母分散が未知のため、標本標準偏差を使用

3. これにより、t分布を用いた区間推定が必要

4. 信頼区間の式： $$ \left[\bar{X} - t_{\alpha/2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{X} + t_{\alpha/2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\right] $$ ここで：

5. \(t_{\alpha/2}(n-1)\)：自由度n-1のt分布の上側α/2点
6. s：標本標準偏差

7. n：標本サイズ

8. 特徴：

9. 標本サイズが小さい場合、正規分布より広い区間
10. 標本サイズが大きい場合（n > 30）、正規分布に近づく
11. 不確実性が大きいため、より保守的な推定

(2) t分布の特徴と、正規分布との違いを説明せよ。

解答： t分布の主な特徴と正規分布との違いは以下の通りです：

1. 形状の特徴：
2. 正規分布より裾が厚い（重い）
3. 自由度が小さいほど裾が厚い

4. 自由度が大きくなるにつれて正規分布に近づく

5. 数値的な特徴：

6. 期待値：0（自由度 > 1）
7. 分散：\(\frac{k}{k-2}\)（自由度k > 2）

8. 正規分布より分散が大きい

9. 正規分布との主な違い：

10. 裾の厚さ：t分布の方が厚い
11. 分散：t分布の方が大きい
12. 収束性：自由度→∞で正規分布に収束

(3) 標本サイズが大きい場合のt分布の性質を説明せよ。

解答： 標本サイズが大きい場合（n > 30）、t分布は以下の性質を示します：

1. 正規分布への収束：
2. 自由度が大きくなるにつれて
3. t分布は標準正規分布に近づく

4. 実用上はn > 30で正規分布で近似可能

5. 数値的な特徴：

6. t分布の分位点は正規分布の分位点に近づく

7. 例えば、95%信頼区間の場合：

   • n = 30：t_{0.025}(29) ≈ 2.045
   • n = ∞：z_{0.025} = 1.96

8. 実践的な意味：

9. 大標本では正規分布による近似が可能
10. 計算が簡略化できる
11. ただし、厳密にはt分布を使用する方が正確

5. 計算問題

ある製品の重量が正規分布に従うとする。9個の製品を測定したところ、平均が498g、標準偏差が5gであった。母平均\(\mu\)の95%信頼区間は \(\text{(c)} \leq \mu \leq \text{(d)}\) である。

解答： (c) = 494.33, (d) = 501.67

解説： 1. 与えられた情報： - 標本平均\(\bar{X} = 498\)g - 標本標準偏差\(s = 5\)g - 標本サイズ\(n = 9\) - 信頼係数95%（\(t_{0.025}(8) = 2.306\)）

1. 信頼区間の計算： $$ \bar{X} \pm t_{0.025}(8)\frac{s}{\sqrt{n}} = 498 \pm 2.306\frac{5}{\sqrt{9}} = 498 \pm 3.843 $$

2. したがって、信頼区間は： [498 - 3.843, 498 + 3.843] = [494.33, 501.67]

補足： - この区間は、真の母平均が含まれる確率が95%であることを示します - 区間の幅は約7.69gです - 分散既知の場合と比べて、区間が広くなっています

6. 実践的な問題

ある試験の得点が正規分布に従うとする。100人の学生の標本平均が65点、標本標準偏差が10点であった。

解答：

1. 母平均の95%信頼区間： [63.04点, 66.96点]

解説： 1. 与えられた情報： - 標本平均\(\bar{X} = 65\)点 - 標本標準偏差\(s = 10\)点 - 標本サイズ\(n = 100\) - 信頼係数95%（\(t_{0.025}(99) ≈ 1.984\)）

1. 信頼区間の計算： $$ \bar{X} \pm t_{0.025}(99)\frac{s}{\sqrt{n}} = 65 \pm 1.984\frac{10}{\sqrt{100}} = 65 \pm 1.984 $$

2. したがって、信頼区間は： [65 - 1.984, 65 + 1.984] = [63.04, 66.96]

3. 信頼区間の幅を半分にするには、標本サイズを4倍にする必要があります。

解説： 1. 現在の標本サイズ：100人 2. 必要な標本サイズ：400人（100 × 4）

1. 全国平均が70点であるという仮説の検定：

解答： 帰無仮説\(H_0: \mu = 70\)は棄却されます。

解説： 1. 検定統計量の計算： $$ t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{65 - 70}{10/\sqrt{100}} = -5 $$

1. 棄却域の決定：
2. 有意水準5%
3. 両側検定

4. 棄却域：\(|t| > 1.984\)

5. 判定：

6. \(|t| = 5 > 1.984\)
7. したがって、帰無仮説を棄却
8. 全国平均は70点と異なると結論

補足： - この結果は、標本の平均が全国平均より有意に低いことを示しています - 教育上の介入や対策を検討する必要があるかもしれません