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第4章 極限定理と推定

収束の種類

  • 確率収束
  • 概収束
  • 分布収束

収束の関係

  • 概収束 ⇒ 確率収束 ⇒ 分布収束
  • 逆は一般に成り立たない

標本平均と標本分散

\[ \bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum X_i \]
\[ S^2=\frac{1}{n-1}\sum (X_i-\bar{X}_n)^2 \]

大数の法則の直感

  • 試行回数が増えると平均が安定
  • コイン投げの例で理解

弱大数の法則

\[ \overline{X}_n \xrightarrow{\mathbb{P}} \mu \]
  • 確率収束を保証

強大数の法則

\[ \mathbb{P}(\lim \overline{X}_n=\mu)=1 \]
  • より強い収束を主張

チェビシェフの不等式

\[ \mathbb{P}(|X-\mu|\ge k\sigma)\le \frac{1}{k^2} \]
  • 大数の法則の証明に用いる

中心極限定理の直感

  • 標本平均の分布はほぼ正規
  • 標本サイズが大きいほど近似が良い

中心極限定理の式

\[ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mu)}{\sigma}\xrightarrow{d}N(0,1) \]
  • 分布の形によらない性質

ド・モアブル・ラプラスの定理

  • 二項分布の正規近似

ポアソン少数の定理

  • 成功確率が小さい二項分布 \(\to\) ポアソン分布

区間推定の考え方

  • 母数を含む区間を推定
  • 信頼係数 \(1-\alpha\)

正規分布で分散既知

\[ \bar{X}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
  • 標準正規の上側点を使用

正規分布で分散未知

\[ \bar{X}\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}} \]
  • t分布の上側点を使用

サンプルサイズの決定

  • 区間幅を希望に合わせて求める

仮説検定の基礎

  • 帰無仮説と対立仮説
  • 検定統計量と棄却域

t検定の例

\[ T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}} \]
  • 自由度 \(n-1\)

よくある誤解

  • 標本サイズが大きければ必ず正規になるわけではない
  • 独立性が必要

シミュレーション例

  • Pythonコードで確認
  • 実験でCLTを体感

まとめ

  • 大数の法則と中心極限定理は統計の基盤
  • Ch4-problems.mdを解いて理解

チェビシェフの応用例

  • 標本平均のばらつきの上界を求める
  • 大数の法則の定量的理解

収束の速度

  • 分布によって異なる
  • コーシー分布では平均が収束しない

連続性補正

  • 離散分布から連続分布へ近似するとき
  • 0.5 を加減して補正

区間推定の例

  • 平均500gの製品の重量測定
  • 標準偏差既知の場合

仮説検定のp値

  • 棄却域ではなくp値で結果を示す

計算例: t検定

  • サンプル平均と標準偏差を計算
  • t分布表を参照

応用分野

  • 品質管理や医療統計など
  • CLTの前提確認が重要

練習問題リンク