演習問題
演習問題
第10回：大数の法則
- 基本的な理解を確認する問題：
- コインを100回投げたとき、表が出る回数の期待値はいくつか。
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コインを1000回投げたとき、表が出る確率は0.5に近づくことを説明せよ。
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シミュレーション問題：
- Pythonを用いて、コイン投げのシミュレーションを行い、試行回数を増やしたときの表が出る確率の変化をグラフで示せ。
- 試行回数が10回、100回、1000回のときの結果を比較し、大数の法則の働きを説明せよ。
第11回：中心極限定理
- 基本的な理解を確認する問題：
- サイコロを1回投げたときの出目の分布はどのような形か。
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サイコロを100回投げたときの出目の平均の分布は、どのような形に近づくか。
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シミュレーション問題：
- Pythonを用いて、サイコロ投げのシミュレーションを行い、試行回数を増やしたときの出目の平均の分布の変化をグラフで示せ。
- 試行回数が10回、100回、1000回のときの結果を比較し、中心極限定理の働きを説明せよ。
第12回：標本分布と区間推定
- 基本的な理解を確認する問題：
- 正規分布\(N(\mu, \sigma^2)\)に従う確率変数\(X\)の標本平均\(\bar{X}\)の期待値と分散を求めよ。
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標本サイズ\(n\)を大きくすると、標本平均の分散はどのように変化するか。
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区間推定の基本問題：
- 正規分布\(N(\mu, \sigma^2)\)から得られた標本\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)について、\(\mu\)の95%信頼区間を求めよ。
- 標本サイズ\(n\)を大きくすると、信頼区間の幅はどのように変化するか。
発展問題
- 実践的な問題：
- ある製品の重量が正規分布\(N(500, 10^2)\)に従うとする。100個の製品を測定して得られた標本平均が498g、標本標準偏差が9gであったとき、母平均\(\mu\)の95%信頼区間を求めよ。
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この信頼区間の解釈を説明せよ。
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応用問題：
- ある試験の得点が正規分布に従うとする。100人の学生の標本平均が65点、標本標準偏差が10点であったとき、母平均の95%信頼区間を求めよ。
- この信頼区間の幅を半分にするには、標本サイズを何倍にすればよいか。
総合問題
- 大数の法則と中心極限定理を組み合わせた応用：
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ある機械が生産する部品の重量が平均50g、分散4であるとする。100個の部品を抽出したとき、平均重量が52gを超える確率を中心極限定理を用いて近似せよ。
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実データ分析の例：
- Pythonでサイコロを1000回振るシミュレーションを行い、回数を増やしたときの平均値の推移を図示し、大数の法則と中心極限定理の働きを説明せよ。