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第3章 演習問題 解答例

第7回：離散型確率分布

  1. 二項分布\(X \sim \text{Bin}(n,p)\)の期待値と分散：
  2. 期待値：\(\mathbb{E}[X] = np\)
  3. 分散：\(\mathbb{V}[X] = np(1-p)\)

導出過程： - 二項分布は独立なベルヌーイ分布の和として表せる： \(X = \sum_{i=1}^n X_i\) ただし \(X_i \sim \text{Bern}(p)\)

  • 期待値の導出： \(\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i] = \sum_{i=1}^n p = np\) （期待値の線形性とベルヌーイ分布の期待値\(p\)より）

  • 分散の導出： \(\mathbb{V}[X] = \mathbb{V}[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n \mathbb{V}[X_i] = \sum_{i=1}^n p(1-p) = np(1-p)\) （独立性より分散の加法性が成り立ち、ベルヌーイ分布の分散\(p(1-p)\)より）

  • ポアソン分布\(X \sim \text{Po}(\lambda)\)の期待値と分散：

  • 期待値：\(\mathbb{E}[X] = \lambda\)
  • 分散：\(\mathbb{V}[X] = \lambda\)

導出過程： - 期待値の導出： \(\mathbb{E}[X] = \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\) \(= \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\) \(= \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\) \(= \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^j}{j!}\) \(= \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} = \lambda\)

  • 分散の導出： \(\mathbb{V}[X] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2\) \(\mathbb{E}[X^2] = \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\) \(= \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\) \(= \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\) \(= \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty} (j+1) \frac{\lambda^j}{j!}\) \(= \lambda e^{-\lambda} (\sum_{j=0}^{\infty} j \frac{\lambda^j}{j!} + \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^j}{j!})\) \(= \lambda e^{-\lambda} (\lambda e^{\lambda} + e^{\lambda}) = \lambda^2 + \lambda\) よって、\(\mathbb{V}[X] = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda\)

  • 二項分布を用いた確率計算：

  • \(X \sim \text{Bin}(100, 0.05)\)
  • 求める確率：\(\mathbb{P}(X \leq 3) = \sum_{k=0}^3 \binom{100}{k} 0.05^k 0.95^{100-k}\) \(= \binom{100}{0} 0.95^{100} + \binom{100}{1} 0.05 \cdot 0.95^{99} + \binom{100}{2} 0.05^2 \cdot 0.95^{98} + \binom{100}{3} 0.05^3 \cdot 0.95^{97}\) \(\approx 0.2578\)

第8回：連続型確率分布

  1. 正規分布\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)の期待値と分散：
  2. 期待値：\(\mathbb{E}[X] = \mu\)
  3. 分散：\(\mathbb{V}[X] = \sigma^2\)

導出過程： - 期待値の導出： \(\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx\) \(y = x - \mu\)と変数変換すると、 \(= \int_{-\infty}^{\infty} (y + \mu) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy\) \(= \mu \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy + \int_{-\infty}^{\infty} y \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy\) \(= \mu \cdot 1 + 0 = \mu\)

  • 分散の導出： \(\mathbb{V}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx\) \(y = \frac{x-\mu}{\sigma}\)と変数変換すると、 \(= \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} y^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}} dy\) \(= \sigma^2 \cdot 1 = \sigma^2\)

  • 指数分布\(X \sim \text{Exp}(\lambda)\)の期待値と分散：

  • 期待値：\(\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}\)
  • 分散：\(\mathbb{V}[X] = \frac{1}{\lambda^2}\)

導出過程： - 期待値の導出： \(\mathbb{E}[X] = \int_0^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx\) \(= \lambda \int_0^{\infty} x e^{-\lambda x} dx\) \(= \lambda [-\frac{x}{\lambda}e^{-\lambda x}]_0^{\infty} + \lambda \int_0^{\infty} \frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x} dx\) \(= 0 + \int_0^{\infty} e^{-\lambda x} dx = \frac{1}{\lambda}\)

  • 分散の導出： \(\mathbb{V}[X] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2\) \(\mathbb{E}[X^2] = \int_0^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx\) \(= \lambda \int_0^{\infty} x^2 e^{-\lambda x} dx\) \(= \lambda [-\frac{x^2}{\lambda}e^{-\lambda x}]_0^{\infty} + 2\lambda \int_0^{\infty} \frac{x}{\lambda}e^{-\lambda x} dx\) \(= 0 + 2\int_0^{\infty} x e^{-\lambda x} dx = \frac{2}{\lambda^2}\) よって、\(\mathbb{V}[X] = \frac{2}{\lambda^2} - (\frac{1}{\lambda})^2 = \frac{1}{\lambda^2}\)

  • 一様分布\(X \sim U(a,b)\)の期待値と分散：

  • 期待値：\(\mathbb{E}[X] = \frac{a+b}{2}\)
  • 分散：\(\mathbb{V}[X] = \frac{(b-a)^2}{12}\)

導出過程： - 期待値の導出： \(\mathbb{E}[X] = \int_a^b x \frac{1}{b-a} dx\) \(= \frac{1}{b-a} [\frac{x^2}{2}]_a^b\) \(= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2-a^2}{2} = \frac{a+b}{2}\)

  • 分散の導出： \(\mathbb{V}[X] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2\) \(\mathbb{E}[X^2] = \int_a^b x^2 \frac{1}{b-a} dx\) \(= \frac{1}{b-a} [\frac{x^3}{3}]_a^b\) \(= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^3-a^3}{3} = \frac{a^2+ab+b^2}{3}\) よって、\(\mathbb{V}[X] = \frac{a^2+ab+b^2}{3} - (\frac{a+b}{2})^2 = \frac{(b-a)^2}{12}\)

  • 標準正規分布の確率：

  • \(\mathbb{P}(-1 \leq Z \leq 1) = \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz \approx 0.6827\)
  • \(\mathbb{P}(-2 \leq Z \leq 2) = \int_{-2}^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz \approx 0.9545\)
  • \(\mathbb{P}(-3 \leq Z \leq 3) = \int_{-3}^3 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz \approx 0.9973\)

第9回：期待値と分散の計算

  1. 線形変換の期待値と分散：
  2. \(\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[2X + 1] = 2\mathbb{E}[X] + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7\)

  3. \(\mathbb{V}[Y] = \mathbb{V}[2X + 1] = 2^2\mathbb{V}[X] = 4 \cdot 4 = 16\)

  4. 標本平均の期待値と分散：

  5. \(\mathbb{E}[\bar{X}] = \mathbb{E}[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i] = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu\)

  6. \(\mathbb{V}[\bar{X}] = \mathbb{V}[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i] = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \mathbb{V}[X_i] = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}\)

  7. 相関係数と和の分散：

    • 相関係数：\(\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathbb{V}[X]\mathbb{V}[Y]}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 9}} = \frac{1}{3}\)
    • \(Z\)の分散：\(\mathbb{V}[Z] = \mathbb{V}[X + Y] = \mathbb{V}[X] + \mathbb{V}[Y] + 2\text{Cov}(X,Y) = 4 + 9 + 2 \cdot 2 = 17\)

  8. 線形結合の分散：

    • \(\mathbb{V}[Z] = \mathbb{V}[2X - 3Y] = 2^2\mathbb{V}[X] + (-3)^2\mathbb{V}[Y] = 4 \cdot 4 + 9 \cdot 9 = 97\) （\(X\)と\(Y\)が独立なので、共分散項は0）