第3章 演習問題

第7回：離散型確率分布

1. 二項分布\(X \sim \text{Bin}(n,p)\)の期待値と分散を、期待値と分散の定義に基づいて導出せよ。

2. ポアソン分布\(X \sim \text{Po}(\lambda)\)の期待値と分散を、期待値と分散の定義に基づいて導出せよ。

3. ある工場で生産される製品の不良率が\(p=0.05\)である。100個の製品を無作為に選んだとき、不良品が3個以下である確率を二項分布を用いて求めよ。

第8回：連続型確率分布

1. 正規分布\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)の期待値と分散を、期待値と分散の定義に基づいて導出せよ。

2. 指数分布\(X \sim \text{Exp}(\lambda)\)の期待値と分散を、期待値と分散の定義に基づいて導出せよ。

3. 一様分布\(X \sim U(a,b)\)の期待値と分散を、期待値と分散の定義に基づいて導出せよ。

4. 標準正規分布\(Z \sim N(0,1)\)について、以下の確率を求めよ：

5. \(\mathbb{P}(-1 \leq Z \leq 1)\)
6. \(\mathbb{P}(-2 \leq Z \leq 2)\)
7. \(\mathbb{P}(-3 \leq Z \leq 3)\)

第9回：期待値と分散の計算

1. 確率変数\(X\)の期待値が\(\mathbb{E}[X] = 3\)、分散が\(\mathbb{V}[X] = 4\)であるとき、\(Y = 2X + 1\)の期待値と分散を求めよ。

2. 独立な確率変数\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)がそれぞれ\(\mathbb{E}[X_i] = \mu\)、\(\mathbb{V}[X_i] = \sigma^2\)を満たすとき、標本平均\(\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\)の期待値と分散を求めよ。

3. 確率変数\(X\)と\(Y\)の共分散が\(\text{Cov}(X,Y) = 2\)、\(\mathbb{V}[X] = 4\)、\(\mathbb{V}[Y] = 9\)であるとき、相関係数\(\rho_{X,Y}\)を求めよ。また、\(Z = X + Y\)の分散を求めよ。

4. 独立な確率変数\(X\)と\(Y\)がそれぞれ\(\mathbb{V}[X] = 4\)、\(\mathbb{V}[Y] = 9\)を満たすとき、\(Z = 2X - 3Y\)の分散を求めよ。