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1. 確率論の基礎

1.1 確率とは

私たちの身の回りには、結果が確実には予測できない現象が数多く存在します。例えば：

  • サイコロを振ったときの出る目
  • 明日の天気
  • 株価の変動
  • 製品の寿命

このような不確実な現象を数学的に扱うための理論が確率論です。

データのばらつき

実際のデータを観察すると、同じような条件で測定や実験を行っても、結果は毎回少しずつ異なることがわかります。例えば：

  • 工場での製品の品質測定値
  • 同じ条件での実験結果
  • 繰り返し測定での誤差

このようなばらつきは、偶然的な変動として確率的に扱うことができます。

1.2 標本空間と事象

標本空間

確率的現象において、起こりうる結果全体の集合を標本空間と呼びます。標本空間の要素を根元事象と呼びます。

例： 1. サイコロを1回振る： - 標本空間：\(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) - 根元事象：\(1, 2, \ldots, 6\)

  1. サイコロを2回振る：
  2. 標本空間：\(\Omega = \{(1,1), (1,2), \ldots, (6,6)\}\)

  3. 要素数：\(6 \times 6 = 36\)

  4. トランプから1枚引く：

  5. 標本空間：\(\Omega = \{\text{スペードA}, \text{スペード2}, \ldots, \text{ダイヤK}\}\)
  6. 要素数：\(52\)

事象

標本空間の部分集合を事象と呼びます。

例（サイコロを2回振る場合）： - 「1回目が偶数」：\(\{(2,1), (2,2), \ldots, (6,6)\}\) - 「2回の和が7」：\(\{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}\) - 「少なくとも1回6が出る」：\(\{(6,1), (6,2), \ldots, (6,6), (1,6), \ldots, (5,6)\}\)

事象の演算

事象\(A, B\)に対して以下の演算が定義されます：

  1. 和事象：\(A \cup B\)（\(A\)または\(B\)が起こる）
  2. 積事象：\(A \cap B\)（\(A\)と\(B\)がともに起こる）
  3. 余事象：\(A^c\)（\(A\)が起こらない）

具体例（サイコロを2回振る場合）： - \(A\)：「1回目が偶数」= \(\{(2,1), (2,2), ..., (4,1), ..., (6,6)\}\) （18個） - \(B\)：「2回の和が7」= \(\{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}\) （6個） - \(A \cup B\)：「1回目が偶数、または2回の和が7」= 21個の根元事象 - \(A \cap B\)：「1回目が偶数で、かつ2回の和が7」= \(\{(2,5), (4,3), (6,1)\}\) （3個） - \(A^c\)：「1回目が奇数」= \(\{(1,1), (1,2), ..., (3,1), ..., (5,6)\}\) （18個）

確率の計算例： - \(\mathbb{P}(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\) - \(\mathbb{P}(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\) - \(\mathbb{P}(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\) - \(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\)

1.3 確率の定義

確率は次を満たすものとして定義されます：

  1. 非負性：任意の事象\(A\)に対して、\(\mathbb{P}(A) \geq 0\)
  2. 正規性：全事象\(\Omega\)の確率は1、\(\mathbb{P}(\Omega) = 1\)
  3. 加法性：互いに排反な事象\(A, B\)に対して、\(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)\)

確率の公理的定義の詳細

確率の公理的定義は、以下の重要な性質を導きます：

  1. 空事象の確率： $$ \mathbb{P}(\emptyset) = 0 $$

  2. 有限加法性： 互いに排反な事象\(A_1, A_2, \ldots, A_n\)に対して： $$ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i) $$

  3. 確率の単調性： \(A \subset B\)のとき、\(\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)\)

  4. 確率の有界性： 任意の事象\(A\)に対して、\(0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1\)

確率の基本的性質の応用

  1. 余事象の確率の応用：
  2. 少なくとも1回成功する確率 = 1 - すべて失敗する確率

  3. 例：サイコロを3回振って少なくとも1回6が出る確率： $$ 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 $$

  4. 和事象の確率の応用：

  5. 排反でない事象の和の確率を計算する際に重要
  6. 例：トランプから1枚引いてハートまたは絵札である確率： $$ \mathbb{P}(\text{ハート}) + \mathbb{P}(\text{絵札}) - \mathbb{P}(\text{ハートの絵札}) $$

1.4 条件付き確率と独立性

条件付き確率の直感的理解

条件付き確率\(\mathbb{P}(A|B)\)は、「\(B\)が起こったという情報を得た後での\(A\)の確率」と考えることができます。

数学的定義： $$ \mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \quad (\mathbb{P}(B) > 0) $$

具体例1：トランプの条件付き確率 トランプから1枚引いてハートであることがわかったとき、それが絵札である確率： - 全体：52枚のカード - ハートのカード：13枚 - ハートの絵札：3枚（J, Q, K） - \(\mathbb{P}(\text{絵札}|\text{ハート}) = \frac{3}{13} \approx 0.231\)

具体例2：サイコロの条件付き確率 サイコロを2回振って1回目が偶数であることがわかったとき、2回の和が7である確率： - 1回目が偶数の場合：18通り - 1回目が偶数で和が7：\(\{(2,5), (4,3), (6,1)\}\) = 3通り - \(\mathbb{P}(\text{和が7}|\text{1回目が偶数}) = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\)

計算の確認： 前述の事象を使って：\(\mathbb{P}(B|A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)} = \frac{1/12}{1/2} = \frac{1}{6}\)

独立性の直感的理解

2つの事象\(A, B\)が独立であるとは、「\(B\)が起こったという情報が\(A\)の確率に影響を与えない」ことを意味します。

数学的定義： 事象\(A, B\)が独立 \(\Leftrightarrow \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)\)

例1：独立な事象（サイコロを2回振る） - \(C\)：「1回目が偶数」 - \(D\)：「2回目が3以上」

確率の計算： - \(\mathbb{P}(C) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\) - \(\mathbb{P}(D) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\)（2回目で3,4,5,6が出る） - \(\mathbb{P}(C \cap D) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\)（1回目偶数かつ2回目3以上） - 確認：\(\mathbb{P}(C) \times \mathbb{P}(D) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} = \mathbb{P}(C \cap D)\) ✓

例2：独立でない事象（サイコロを1回振る） - \(E\)：「偶数が出る」= \(\{2, 4, 6\}\) - \(F\)：「3以上が出る」= \(\{3, 4, 5, 6\}\)

確率の計算： - \(\mathbb{P}(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) - \(\mathbb{P}(F) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) - \(\mathbb{P}(E \cap F) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)（4と6） - 確認：\(\mathbb{P}(E) \times \mathbb{P}(F) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} = \mathbb{P}(E \cap F)\) ✓

実はこの例では独立です。非独立の例： - \(G\)：「1または2が出る」 - \(H\)：「偶数が出る」 - \(\mathbb{P}(G) = \frac{1}{3}\), \(\mathbb{P}(H) = \frac{1}{2}\), \(\mathbb{P}(G \cap H) = \frac{1}{6}\) - \(\mathbb{P}(G) \times \mathbb{P}(H) = \frac{1}{6} = \mathbb{P}(G \cap H)\) ✓（これも独立）

実際の非独立例： - \(I\)：「1が出る」 - \(J\)：「奇数が出る」 - \(\mathbb{P}(I) = \frac{1}{6}\), \(\mathbb{P}(J) = \frac{1}{2}\), \(\mathbb{P}(I \cap J) = \frac{1}{6}\) - \(\mathbb{P}(I) \times \mathbb{P}(J) = \frac{1}{12} \neq \frac{1}{6} = \mathbb{P}(I \cap J)\) ✗（非独立）

2.1 確率変数と確率分布

確率変数の変換の詳細

確率変数\(X\)に対して、\(Y = g(X)\)と変換したときの確率分布の求め方：

  1. 離散型の場合：
  2. 各\(y\)に対して、\(g(x) = y\)を満たす\(x\)をすべて見つける
  3. それらの\(x\)に対する確率の和を計算する

例：サイコロを2回振って、\(X\)を1回目の目、\(Y\)を2回目の目とする

  • \(Z = X + Y\)の確率分布：

    • \(Z = 2\)：\((1,1)\)のみ → \(\frac{1}{36}\)
    • \(Z = 3\)：\((1,2), (2,1)\) → \(\frac{2}{36}\)
    • \(\vdots\)
    • \(Z = 7\)：\((1,6), \ldots, (6,1)\) → \(\frac{6}{36}\)
    • \(\vdots\)
    • \(Z = 12\)：\((6,6)\)のみ → \(\frac{1}{36}\)

  • 連続型の場合：

  • 変換\(g\)が単調増加または単調減少であることを確認
  • 逆関数\(g^{-1}\)を求める
  • 確率密度関数を変換する

例：\(X\)が\([0,1]\)上の一様分布に従うとき

  • \(Y = X^2\)の確率密度関数：
    • \(g^{-1}(y) = \sqrt{y}\)
    • \(f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot \left|\frac{d}{dy}\sqrt{y}\right| = \frac{1}{2\sqrt{y}}\)

代表的な確率分布の性質と応用

  1. ベルヌーイ分布：

    • 成功確率\(p\)の試行を1回行ったときの成功回数
    • 期待値：\(p\)
    • 分散：\(p(1-p)\)
    • 応用：品質検査での不良品判定

  2. 二項分布：

    • 成功確率\(p\)の試行を\(n\)回行ったときの成功回数
    • 期待値：\(np\)
    • 分散：\(np(1-p)\)
    • 応用：製品の不良率推定

  3. 正規分布：

    • 平均\(\mu\)、分散\(\sigma^2\)の連続分布
    • 対称性：平均を中心に対称
    • 68-95-99.7ルール：
      • 平均±1標準偏差：約68%
      • 平均±2標準偏差：約95%
      • 平均±3標準偏差：約99.7%
    • 応用：測定誤差のモデル化

  4. 指数分布：

    • 無記憶性：\(\mathbb{P}(X > s+t | X > s) = \mathbb{P}(X > t)\)
    • 期待値：\(\frac{1}{\lambda}\)
    • 分散：\(\frac{1}{\lambda^2}\)
    • 応用：機器の故障時間のモデル化

段階的練習問題

基礎練習

  1. トランプ問題 52枚のトランプから1枚引く場合：
  2. \(\mathbb{P}(\text{スペード}) = ?\)
  3. \(\mathbb{P}(\text{絵札}) = ?\)
  4. \(\mathbb{P}(\text{スペードかつ絵札}) = ?\)
  5. \(\mathbb{P}(\text{スペードまたは絵札}) = ?\)

解答： - \(\mathbb{P}(\text{スペード}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) - \(\mathbb{P}(\text{絵札}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}\) - \(\mathbb{P}(\text{スペードかつ絵札}) = \frac{3}{52}\) - \(\mathbb{P}(\text{スペードまたは絵札}) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26}\)

  1. 条件付き確率問題 袋の中に赤玉3個、青玉2個がある。2個を続けて取り出す（非復元）：
  2. 1個目が赤だったとき、2個目も赤である確率は？

解答： 1個目が赤の場合、残りは赤玉2個、青玉2個の計4個 \(\mathbb{P}(\text{2個目赤}|\text{1個目赤}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

応用練習

  1. ベイズの定理の応用 ある検査の精度：病気の人の90%が陽性、健康な人の5%が陽性 人口の1%が病気だとすると、陽性の人が実際に病気である確率は？

解答： \(A\)：病気, \(B\)：陽性とすると - \(\mathbb{P}(B|A) = 0.9\), \(\mathbb{P}(B|A^c) = 0.05\), \(\mathbb{P}(A) = 0.01\) - \(\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B|A^c)\mathbb{P}(A^c)\) - \(= 0.9 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99 = 0.0585\) - \(\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} = \frac{0.009}{0.0585} \approx 0.154\)

演習問題

本章の演習問題はこちらを参照してください。