第2章 確率の基礎
確率とは
- 不確実な現象を数学的に扱う枠組み
- 日常例: 天気予報やサイコロ
標本空間
- 起こりうる結果の集合を表す
- サイコロなら \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
事象
- 標本空間の部分集合
- 例: "偶数が出る" など
事象の演算
- 和事象 \(A\cup B\)
- 積事象 \(A\cap B\)
- 余事象 \(A^c\)
確率の公理
- 非負性
- 正規性 \(\mathbb{P}(\Omega)=1\)
- 加法性 \(\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)\)
空事象と単調性
- 空事象の確率は0
- \(A\subset B\)なら \(\mathbb{P}(A)\le\mathbb{P}(B)\)
条件付き確率
\[
\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}
\]
- 追加情報を考慮した確率
乗法定理
\[
\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A|B)\mathbb{P}(B)
\]
- 確率計算の基本公式
独立性
\[
\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)
\]
- 一方が起こっても他方に影響なし
全確率の公式
- 事象の分割 \(B_i\) を用いて
\[
\mathbb{P}(A)=\sum \mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i)
\]
ベイズの定理
\[
\mathbb{P}(B|A)=\frac{\mathbb{P}(A|B)\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A)}
\]
- 条件付き確率の向きを逆にする公式
確率変数
- 結果を数値で表す写像
- 離散型と連続型がある
分布関数
\[
F(x)=\mathbb{P}(X\le x)
\]
- 性質: 右連続, 単調増加
確率質量関数
- 離散型で \(p(x)=\mathbb{P}(X=x)\)
- 総和は1になる
確率密度関数
- 連続型で \(f(x)\)
- \(\int f(x)dx=1\)
ベルヌーイ分布
- 成功確率 \(p\)
- 期待値 \(p\), 分散 \(p(1-p)\)
二項分布
\[
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
\]
- 試行回数 \(n\) の成功数
ポアソン分布
- パラメータ \(\lambda\)
- まれな事象のモデル
正規分布
- 平均 \(\mu\), 分散 \(\sigma^2\)
- 68-95-99.7 ルール
指数分布
- 無記憶性を持つ
- 平均 \(1/\lambda\)
条件付き分布
- 変数変換や部分的な情報を扱う
確率変数の変換
- \(Y=g(X)\) の分布を求める
- 単調関数なら密度の変換式を使う
期待値と分散
\[
\mathbb{E}[X]=\sum xp(x)
\]
\[
\mathbb{V}[X]=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2
\]
独立変数の和
- 期待値は和の和
- 分散も足し算できる
練習問題リンク
- 詳しくはCh2-problems.md参照
組み合わせの例
- サイコロ2回の標本空間は36通り
- 和が7になる事象は6通り
確率不等式
- チェビシェフの不等式などで上界を求める
まとめ
- 確率は不確実性を数量化する道具
- Ch2-problems.mdで理解を深めよう