モンティーホール問題では、司会者の戦略パラメータpが根源事象の確率空間を定義します。
パラメータp = P(O₂|E₁)：賞金がドア1（参加者の選んだドア）にある場合に、司会者がドア2を開ける確率
このパラメータpによって、根源事象Ω上の確率測度が定まります。
上の図は、モンティーホール問題における根源事象の構造を表しています。左側は初期状態、右側は司会者がドア2を開けた後の状態です。
初期状態では賞金の位置（E₁, E₂, E₃）が均等に分布していますが、司会者のドア選択（O₂）によって根源事象の構造が変化します。
特に、パラメータpの値によって、E₁∩O₂の確率（つまり司会者がドア2を開けたとき、賞金がドア1にある確率）が変化することに注目してください。
ベン図は根源事象間の関係を視覚化しています。E₁, E₂, E₃が賞金の位置を表し、O₂は司会者がドア2を開ける事象を表します。
O₂発生後のベン図は、E₂∩O₂が空集合（賞金がドア2にある場合、司会者はドア2を開けない）になることを示しています。
また、パラメータpの値によってE₁∩O₂の面積（確率）が変化することが分かります。
| 事象 | 賞金の位置 | 確率 P(Oᵢ) | ||
|---|---|---|---|---|
| E₁（ドア1） | E₂（ドア2） | E₃（ドア3） | ||
| O₂（司会者がドア2を開ける） | p/3 | 0 | 1/3 | (p+1)/3 |
| O₃（司会者がドア3を開ける） | (1-p)/3 | 1/3 | 0 | (2-p)/3 |
| O₁（司会者がドア1を開ける） | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 確率 P(Eⱼ) | 1/3 | 1/3 | 1/3 | 1 |
| 事象 | 確率 | 数式 |
|---|---|---|
| P(E₁|O₂) | p/(p+1) | P(E₁|O₂) = P(E₁∩O₂)/P(O₂) = (p/3)/((p+1)/3) = p/(p+1) |
| P(E₂|O₂) | 0 | P(E₂|O₂) = P(E₂∩O₂)/P(O₂) = 0/((p+1)/3) = 0 |
| P(E₃|O₂) | 1/(p+1) | P(E₃|O₂) = P(E₃∩O₂)/P(O₂) = (1/3)/((p+1)/3) = 1/(p+1) |
| 事象 | 確率 | 数式 |
|---|---|---|
| P(E₁|O₃) | (1-p)/(2-p) | P(E₁|O₃) = P(E₁∩O₃)/P(O₃) = ((1-p)/3)/((2-p)/3) = (1-p)/(2-p) |
| P(E₂|O₃) | 1/(2-p) | P(E₂|O₃) = P(E₂∩O₃)/P(O₃) = (1/3)/((2-p)/3) = 1/(2-p) |
| P(E₃|O₃) | 0 | P(E₃|O₃) = P(E₃∩O₃)/P(O₃) = 0/((2-p)/3) = 0 |
これらの表は、モンティーホール問題における根源事象の確率構造を示しています。
初期状態では各ドアに賞金がある確率は1/3ですが、司会者がドアを開けた後は、パラメータpの値に依存した条件付き確率に変化します。
これが、「モンティーホール問題の答えは司会者の戦略に依存する」という主張の根拠です。